第一章概率与随机变量常见分布第1页,共25页,星期日,2025年,2月5日
随机变量X的分布函数为第2页,共25页,星期日,2025年,2月5日
1)一维高斯分布高斯变量X的概率密度为:二、高斯分布第3页,共25页,星期日,2025年,2月5日
概率分布函数第4页,共25页,星期日,2025年,2月5日
服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X,其特征函数为第5页,共25页,星期日,2025年,2月5日
服从的高斯变量Y,其特征函数为第6页,共25页,星期日,2025年,2月5日
(1)已知X为高斯变量,则Y=aX+b(a,b为常数)也为高斯变量,且特点:第7页,共25页,星期日,2025年,2月5日
(2)高斯变量之和仍为高斯变量。例:求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量X1,X2之和的概率密度。第8页,共25页,星期日,2025年,2月5日
推广到多个互相独立的高斯变量,其和也是高斯分布。即若Xi服从,则其和的数学期望和方差分别为第9页,共25页,星期日,2025年,2月5日
若有大量相互独立的随机变量的和其中每个随机变量Xi对总的变量Y的影响足够小时,则在一定条件下,当时,随机变量Y是服从正态分布的,而与每个随机变量的分布律无关。(3)中心极限定理第10页,共25页,星期日,2025年,2月5日
结论:任何物理过程,如果它为许多独立作用之和,那么这个过程就趋于高斯分布。第11页,共25页,星期日,2025年,2月5日
2)二维高斯分布设X是均值为,方差为的正态随机变量,Y是均值为,方差为的正态随机变量,且X,Y的相关系数为,则二维随机变量(X,Y)为一个二维正态随机变量,其联合概率密度函数为第12页,共25页,星期日,2025年,2月5日
从以上可以看出,对于高斯变量来说,统计独立与线性不相关是等价的。第13页,共25页,星期日,2025年,2月5日
三.分布1)中心分布若n个互相独立的高斯变量X1,X2,…,Xn的数学期望都为零,方差为1,它们的平方和的分布是具有n个自由度的分布。第14页,共25页,星期日,2025年,2月5日
其概率密度为第15页,共25页,星期日,2025年,2月5日
当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1,而是时,Y的概率密度为第16页,共25页,星期日,2025年,2月5日
性质: 两个互相独立的具有分布的随机变量之和仍为分布,若它们的自由度分别为n1和n2,其和的自由度为n=n1+n2。第17页,共25页,星期日,2025年,2月5日
2)非中心分布若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的方差为,数学期望为,则为n个自由度的非中心分布。第18页,共25页,星期日,2025年,2月5日
其概率密度为称为非中心分布参量第19页,共25页,星期日,2025年,2月5日
性质:两个相互独立的非中心分布的随机变量之和仍为非中心分布,若它们的自由度为n1和n2,非中心分布参量分别为和,其和的自由度为n=n1+n2,非中心分布参量为第20页,共25页,星期日,2025年,2月5日
四.瑞利分布和莱斯分布1)瑞利分布对于两个自由度的分布,即Xi(I=1,2)是数学期望为零,方差为且相互独立的高斯变量,则为瑞利分布。第21页,共25页,星期日,2025年,2月5日
R的概率密度为第22页,共25页,星期日,2025年,2月5日
对n个自由度的分布,若令则R为广义瑞利分布第23页,共25页,星期日,2025年,2月5日
2)莱斯分布当高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的数学期望为不为零时,是非中心分布,而则是莱斯分布。第24页,共25页,星期日,2025年,2月5日
对于任意n值有第25页,共25页,星期日,2025年,2月5日