第1页，共39页，星期日，2025年，2月5日例1设某商店经营情况可能有三种状态：好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好（S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为Si，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3;j=1,2,3），0≤pij≤1例1中的关系既可用一转移矩阵表示第2页，共39页，星期日，2025年，2月5日例2研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于系统之外四种状态，分别以S1，S2，S3和S4表示这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中的磷以0.4的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统外的概率为0.2；牧草中的含磷以0.6的概率被牛羊吃掉而转换到牛羊体内，0.1的概率随牧草枯死腐败归还土壤；牛羊体中的磷以0.7的概率因粪便排泄而还归土壤，又以自身0.1的比率因屠宰后投放市场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：1000S4流失系统外0.10.200.7S3羊体含磷00.60.30.1S2牧草含磷0.200.40.4S1土壤含磷i时段状态S4S3S2S1i+1时段状态状态转移概率第3页，共39页，星期日，2025年，2月5日相应的转移矩阵为：且Sj+1=SjM马氏链模型的性质完全由其转移矩阵决定，故研究马氏链的数学工具是线性代数中有关矩阵的理论。首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有（1）（I,j=1,…,n）（2）（i=1,…,n）这样的矩阵被称为随机矩阵。第4页，共39页，星期日，2025年，2月5日常染色体遗传模型下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如表所示。在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，（A、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。1000aa010Aa0001AA后代基因型aa－aaAa－aaAa－AaAA－aaAA－AaAA－AA父体——母体的基因型双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例。第5页，共39页，星期日，2025年，2月5日例3农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（a）假设：令n=0,1,2,…。（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比。令x(n)为第n代植物的基因型分布：当n=0时表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）第6页，共39页，星期日，2025年，2月5日（b）建模根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为1/2，而第n－1代的aa型与AA型结合，后代不可能是AA型。因此当n=1,2…时即类似可推出cn=0显然有（ii）第n代的分布与第n－1代的分布之间的关系是通过表5.2确定的。(2)(3)(4)第7页，共39页，星期日，2025年，2月5日将（2）、（3）、（4）式相加，得根据假设(I)，可递推得出：对于(2)式.(3)式和(4)式，我们采用矩阵形式简记为其中（注：这里M为转移矩阵的位置）(5)第8页，共39页，星期日，2025年，2月5日由（5）式递推，得(6)（6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角库D，使M=PDP-1因而有Mn=PDnP-1,n=1,2,…其中这里，，是矩阵M的三个特征值。对于(5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量：=1，=1/2，=0第9页，共39页，星期日，2025年，2月5日因此所以通过计算，P-1=P，因此有第10页，共39页，星期日，2025年，2月5日即第11页，共39页，星期日，2025年，2月5日所以有当时，