思考题解答第29页，共41页，星期日，2025年，2月5日第六节多元函数的极值第1页，共41页，星期日，2025年，2月5日实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出第2页，共41页，星期日，2025年，2月5日第3页，共41页，星期日，2025年，2月5日1、二元函数极值的定义二、多元函数的极值和最值第4页，共41页，星期日，2025年，2月5日(1)例1例２例３第5页，共41页，星期日，2025年，2月5日2、多元函数取得极值的条件第6页，共41页，星期日，2025年，2月5日证第7页，共41页，星期日，2025年，2月5日仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点＋一阶偏导数问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：第8页，共41页，星期日，2025年，2月5日第9页，共41页，星期日，2025年，2月5日驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)在(1,0)处A=120,B=0,C=6在(1,0)处取得极小值-5在(1,2)处A=120,B=0,C=-6在(1,2)处没有极值第10页，共41页，星期日，2025年，2月5日在(-3,0)处A=-12,B=0,C=6在(-3,0)处没有极值在(-3,2)处A=-120,B=0,C=-6在(-3,2)处取得极大值31第11页，共41页，星期日，2025年，2月5日第12页，共41页，星期日，2025年，2月5日求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值第13页，共41页，星期日，2025年，2月5日解如图,第14页，共41页，星期日，2025年，2月5日第15页，共41页，星期日，2025年，2月5日第16页，共41页，星期日，2025年，2月5日第17页，共41页，星期日，2025年，2月5日第18页，共41页，星期日，2025年，2月5日三.条件极值方法：拉格朗日乘数法作拉格朗日函数1.求z=f(x,y)在满足约束条件下的极值第19页，共41页，星期日，2025年，2月5日第20页，共41页，星期日，2025年，2月5日M(x,y,z)第21页，共41页，星期日，2025年，2月5日M(x,y,z)解:设M(x,y,z),则长、宽、高分别为2x,2y,c-z则V=4xy(c-z)满足第22页，共41页，星期日，2025年，2月5日所以：长、宽、高分别为a,b,c/2时长方体体积最大第23页，共41页，星期日，2025年，2月5日第24页，共41页，星期日，2025年，2月5日第25页，共41页，星期日，2025年，2月5日第26页，共41页，星期日，2025年，2月5日多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结第27页，共41页，星期日，2025年，2月5日思考题第28页，共41页，星期日，2025年，2月5日