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从算数跨入代数的趣例
（兼及1k+2k+3k+…+nk的公式求法）
记得有位小学数学尖子，拿一道数学问题请问不少同学与老师，由于他们受算术思维定势局限，都束手无策，于是转问中学老师，他改用代数方法快速释然而解。兹呈如下：
问题：如图一，表示一个边长为10的正方形ABCD,AB上有EF=2，AD上有GH=3，已知EE’平行AD，GG’平行AB，试求四边形EHFG’的面积。
图1CG/BEFxEEE///’DG3HyA解：由于EF在
图1
CG/B
E
F
x
EEE///
DG3HyA
依此知，△AFH的面积有1/2xy；△BFG’的面积为1/2(10-x)(y+3)；△CG’E’的面积为1/2（8-x）（7-y）；
△DE’H的面积为1/2/(x+2)(10-y)。这四个三角形的面积共等于1/2[xy+(10-x)(y+3)+(8-x)(7-y)+(x+2)(10-y)]=53。于是所求面积为100-53=47。
注记：本问题结果与所设x与y无关，似乎是纯粹的算术问题。解题过程中班由于AF和AH的不确定，须将其数量用字母表示，才便于解答，可见这是一道从算术跨入代数的典型入门问题。体现了学习代数的必要性。本题所求的四边形的形状与位置实际是变化着的图形，但它的面积不管形状与位置怎样变化，都是一个固定的值53，这种问题在数学中常会遇见，叫“定值问题”。
又如图2，表示一个立方体，将其表面涂上红色，然后横，纵，竖各均匀地切三刀，问：
可得多少个小立方体？
三个面为红色的小立方体共有几个？
二个面为红色的小立方体共有几个？
一个面为红色的小立方体共有几个？
无一面为红色的小立方体共有几个？
图2
图2
解：（1）设小立方体的棱长为1，则大立方体的棱长为4，于是共有4×4×4=64个小立方体。
（2）三个面为红色的小立方体，必须在大立方体的顶点上出现，因此共有8个。
（3）二个面为红色的小立方体，必须在大立方体的各棱中部，因此共有12×2=24个。
（4）一个面为红色的小立方体，出现在大立方体的各面中部，因此共有6×4=24个。
（5）剥离最外一层涂红的小立方体，剩下的立方体的棱长为2，因此无红的小立方体共8个。
检验：8+24+24+8=64，符合小立方体的总数，所以上述答案正确。
仿照（1）~（5）的观察思考方法，横、纵、竖均匀切几刀时，相关答案依次为（n+1）3；8；12（n-1）；6（n-1）2；（n-1）3。
验证为：（n+1）3=[（n-1）+2]3=（n-1）3+6（n-1）2+12（n-1）+8
注记：本题前五问是纯粹算术问题，第（6）问题即是进入代数的问题，其中n=1，2，3，……可见代数是由特殊到一般，由具体到抽象的思维过程。代数是人类思维由低级向高级发展，以追求发现规律掌握规律为目的的教材，是算术发展的必然结果，而算术是代数思维的基础。本题解答过程中的分析与检验，充分展现了立体中的相关概念（顶点、棱、面、外部与内部、体积），是具有较强空间想象能力考量的算术到代数的问题，也是具有较高教育意义的数学问题。
（二）
小学算术除法中，整除判断或余数求法常是较难的问题。如果引入余数性质及其表达式，将给学生以及教学提供解答有关问题的锐利思想表述武器。
余数性质是（证明从略）：
两数和或差除以某数的余数，等于两数相应余数和或差除以某数的余数；
两数积除以某数的余数，等于两数相应余数积除以某数的余数。
此性质可用下述符号表示的数式表达，令人更易于理解与书面表达。这种隐含语言方式的数学式，更是代数异于算术又胜于算术的特点。
设m除以p的余数为m’，表示为R（m/p）=m’，其中R((X±Y)/P)=R((x’+y’)/p);
R((xy)/p)=R((x’y’)/p)。其中m,m’,x,x’,y,y’,p都是正整数或0。
例如R((24+18)/7)=R((3+4)/7)=0
R((24-18)/7)=R((3-4)/7)=R(-1/7)=7-1=6
R((24×18)/7)=R((3×4)/7)=5
R(1000/7)=R((10×10×10/7)=R(3×3×3/7)=6
又如，某平年元旦为星期5，求该年劳动节和国庆节的星期数。
解：因为该年元旦到五月一日经过了（31+28+31+30）日，所以劳动节星期数为：
R((5+31+28+31+30)/7=E((5+3+0+3+2)/7)=6
又因该年元旦到十月一日，经过了（5×31+3×30+28）日，所以国庆节星期数为: