第四章指数函数与对数函数
4.3.2对数的运算
?
?
一、教学目标
理解对数的运算性质，并能运用这些性质进行一些简单的化简和证明.
能熟练应用换底公式进行化简和计算.
能理解、应用对数的运算性质，对实际问题进行分析，提升数学逻辑推理素养.
?
?
二、教学重难点
重点：准确运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值.
难点：能根据指对数的互化推导对数运算性质及换底公式.
?
?
三、教学过程
（一）创设情境
回顾：前面的学习，我们知道了指对数互化，你们来说一说？（学生讨论）接着我们研究了指数幂的运算性质.
答：指数式与对数式的互化：ax=N?x=loga?N
指数幂的运算性质：
（1）a
（2）a
（3）ab
想一想：引入对数之后，自然应研究对数的运算性质.
师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.
设计意图：教师以回顾引发学生思考，从指数与对数之间的关系、指数的运算性质中，激发学生主动学习、沿着同样的学习路径研究对数的运算性质，以此顺利揭示本节课题.
（二）探究新知
任务1：探究对数的运算性质.
思考：计算下面两组式子，判断他们有什么关系？
（1）lg（100×110×1）lg100+lg1
师生活动：1.先独立计算；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
提示：尝试从计算结果出发，能否发现他们之间的关系呢？
总结：当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数.
各抒已见：我们能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
提示：从指数幂运算的角度进行推导.
答：设M=am，N=an，因为am
根据对数与指数间的关系可得logaM=m
故loga
思考：此推导方法是从指数幂运算的角度出发，还有其他推导方法吗？
提示：从对数运算的角度进行推导.
答：设m=logaM，n=logaN，即
所以loga(MN)=m+n
思考：仿照上述过程，根据指数的性质ar÷as=
师生活动:1.先独立思考2分钟;2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
答：1.已知x=logaN，a
因为am÷a
logaM=m，loga
2.已知x=logaN
因为amn=amn，所以
因为m=logaM
总结：对数的运算性质：如果a0，且a≠1，M0，N0，那么（1）loga(MN)=
任务2：探究对数的换底公式.
思考：解决下列问题，尝试理解对数的换底公式.
(1)利用计算工具求ln2,
(2)根据对数的定义，你能利用ln2,ln3
(3)根据对数的定义，你能用logca，logcb表示logab(a0，且
师生活动：1.先独立思考2分钟;2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.答：（1）ln2≈0.6931，
（2）设log23=x，则2x=3，ln2x
（3）设logab=x，则ax=b，于是logca
总结：对数换底公式:logab=
公式意义：在于改变对数式的底数，把不同的底数问题转化为同底数问题后求解.
任务3：探究对数在实际问题中的应用.
思考：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍.
师生活动:1.先独立思考;2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
答：因为y=1.11x
所以x=
利用计算工具，可得x=
由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.
设计意图：通过三个任务，加深对对数的运算性质的理解与应用，探究任务设计层层递进，由浅入深.在思考和启发中渗透知识的学习，在合作与讨论中加深进行思维的深加工.以此突破本节课的重难点.
（三）应用举例
例1利用对数的运算性质，解决下列问题.
（1）求值：lg3100
（2）用logax、log
解：（1）lg
（2）logaxyz=
例2利用换底公式化简下列各式.
（1
（2
解：（1）原式=
（2）原式?=
=
总结：一般思路：1.先用对数的运算法则、性质进行部分运算，再化成同底对数运算化简.2.一次性统一换成常用对数（或自然对数），再化简、计算.
例3尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE
答：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.由
??????????lgE1=4.8+1.5×9.0
lg
利用计算工具可得，E
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
思考：为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？
答：地震中能量是