第五章三角函数
1.1.1任意角
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一、教学目标
1.理解任意角、象限角、相反角等相关概念并会用集合语言表示终边相同的角；
2.会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写；
3.通过对任意角相关概念的学习，体会角的概念的必要性，促进对数学知识形成过程的认识，用数学知识认识世界，从而培养善于思考、勤于动手的良好品质，提升数学抽象、直观想象等核心素养．
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二、教学重难点
重点：任意角的概念，角的加减与旋转角，象限角的表示.
难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写.
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三、教学过程
（一）创设情境
情境：现实生活中，你接触过超出0°~360°范围的角吗？请举例说明.
答：1.体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0°~360°范围的角，而且旋转的方向也不相同.
2.被动轮与主动轮中OA绕点O旋转所成的角与OB绕点O旋转所成的角就会有不同的方向.
3.钟表慢了2小时，校准后分针转过的角度
师生活动：学生思考，教师多媒体出示出示体操比赛、齿轮传动以及时钟的图片.(体操:“前空翻转体度”，“后空翻转体度”.齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向相反(顺、逆时针).时钟：慢了2小时，校准后分针转过的角度)
设计意图：创设课堂情境，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，从而点明本节课的内容，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.
（二）探究新知
任务1：任意角的概念
思考1：初中学过角的概念是什么？范围是多大?有哪些种类？
情境：定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
角的范围：0°~360°
角的种类：锐角、直角、钝角、平角、周角
设计意图：通过复习初中角的概念，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.通过复习初中角的概念，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.
说一说：用旋转来描述角，需要考虑什么？
答：旋转中心、旋转方向和旋转角度
设计意图：通过探究学习，培养学生数学抽象的核心素养.
思考2：根据情境中的案例，该如何度量生活中超出0°~360°范围的角？
答：上述案例中，角的度数已经不再局限在360°内，所以角的概念需进行推广.
旋转所成的角就会有不同的方向，因此要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广.
总结：(一)角的分类
1.三类不同角：
正角：一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.如：α=60o，α=425o.
负角：一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.如：α=﹣540o，α=﹣120o.
零角：一条射线没作任何旋转.(零角的始边与终边重合)
2.两类特殊角：
相等角：旋转方向相同，旋转量相同，称α=β.
相反角：旋转方向不同，旋转量相同的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为?α.
(二)角的计算
1.角的加法：设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边再旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.
2.角的减法：减去一个角等于加上这个角的相反角.即：α?β=α+(?β).
角的减法转化为角的加法，角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺”
设计意图：让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性．
任务2：象限角与终边相同的角
我们通常在直角坐标系讨论角，为了方便，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.
注意：如果角的终边落在坐标轴上，则该角称为轴线角.
设计意图：通过探究学习，使学生掌握象限角的判断方法，强化数学抽象的核心素养.
探究：在直接坐标系中给定一个角有唯一的终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
各抒己见：请同学们先认真思考，再表达出自己的想法
答：不难发现，在图中，如果?32°角的终边是OB，那么328°，?392°，?角的终边都是OB，并且与?32°角终边相同的这些角都可以表示成?32°的角与k个(k∈Z)周角的和，如：
328°=?32°+360°(这里k=1)
?392°=?32°?360°(这里k=?1)
设S={β|β=?32°+k?360°，k∈Z}，则328°，?392°角都是S的元素，?32°角也是S的元素(此时k=0).
因此，所有与?32°角终边相同的角，连同?32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与?32°角的终边相同.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合：S={β│β=α+k?360°，k∈Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周