*第1页，共15页，星期日，2025年，2月5日在数学中大家都注意到这样的现象：有时候一个有限的和很难求,但一经取极限由有限过渡到无限,则问题反而好办.例如,若对某一x,要计算和而一经取极限，则有简单的结果*第2页，共15页，星期日，2025年，2月5日事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是正态分布，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了“中心极限定理”的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况。*第3页，共15页，星期日，2025年，2月5日在概率论中，另一类重要的极限定理是所谓“大数定律”。在第一章中我们已经讨论了“频率的稳定性”。大量的重复试验中，事件A发生的频率接近某个常数，这个常数实际上就是事件发生的概率。“大数”的意思，就是指试验数目是大量的。*第4页，共15页，星期日，2025年，2月5日预备知识：切比雪夫不等式或§1大数定律*第5页，共15页，星期日，2025年，2月5日几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤C，i=1,2,…，则对任意的有或称依概率收敛*第6页，共15页，星期日，2025年，2月5日证两边夹,即得结论.*第7页，共15页，星期日，2025年，2月5日解释:取值接近于其数学期望的概率接近于1.当n充分大时，差不多不再是随机的了,*第8页，共15页，星期日，2025年，2月5日定理2（伯努利大数定律）或下面给出的伯努利大数定律,是定理1的一种特例.设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的,有*第9页，共15页，星期日，2025年，2月5日引入i=1,2,…,n则而由切比雪夫大数定律，*第10页，共15页，星期日，2025年，2月5日是事件A发生的频率，贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.这就是频率稳定性的理论解释。历史上，贝努利第一个研究了这种类型的极限定理，在1713年发表的论文中(这是概率论的第一篇论文!),他建立了以上定理。所以有人认为，概率论的真正历史应从出现贝努利大数定律的时刻算起。*第11页，共15页，星期日，2025年，2月5日