高中数学沪教版（2020）必修第三册《异面直线所成的角的概念及辨析》
考试时间：______分钟总分：______分姓名：______
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上
1.填空题（每空2分，共10分）
1.异面直线所成的角是指两条直线在平面上的投影线所成的______角。
2.异面直线所成的角的范围是______。
3.两条异面直线所成的角的最大值为______。
4.两条异面直线所成的角的最小值为______。
5.若两条异面直线所成的角为直角，则这两条直线一定是______。
2.选择题（每题3分，共15分）
1.下列关于异面直线所成的角的描述，正确的是（）
A.异面直线所成的角一定是锐角
B.异面直线所成的角一定是钝角
C.异面直线所成的角一定是直角
D.异面直线所成的角可以是锐角、钝角或直角
2.下列命题中，正确的是（）
A.两条异面直线所成的角等于它们所在平面的夹角
B.两条异面直线所成的角等于它们所在平面的夹角的补角
C.两条异面直线所成的角等于它们所在平面的夹角的正弦值
D.两条异面直线所成的角等于它们所在平面的夹角的余弦值
3.若两条异面直线所成的角为α，则它们的夹角为（）
A.α
B.π-α
C.2α
D.π/2-α
4.下列关于异面直线所成的角的性质，正确的是（）
A.异面直线所成的角与其所在平面的夹角相等
B.异面直线所成的角与其所在平面的夹角互补
C.异面直线所成的角与其所在平面的夹角互余
D.异面直线所成的角与其所在平面的夹角互为补角
5.若两条异面直线所成的角为α，则它们所在平面的夹角为（）
A.α
B.π-α
C.2α
D.π/2-α
3.解答题（每题10分，共20分）
1.已知两条异面直线l1和l2，求证：l1和l2所成的角等于它们所在平面的夹角的补角。
2.已知两条异面直线l1和l2，求证：l1和l2所成的角的最大值为π/2。
4.综合题（15分）
已知两条异面直线l1和l2，其中l1所在平面为α，l2所在平面为β。设l1和l2所成的角为α，求证：α=π/2的充分必要条件是l1和l2所在平面α和β的夹角为π/2。
试卷答案
1.锐
2.
3.π/2
4.π
5.平行
2.D
2.D
3.A
4.B
5.B
3.解析：
（1）证明：设两条异面直线l1和l2的投影线分别为l1和l2，所在平面分别为α和β。连接l1和l2的交点为O，作OC垂直于α于点C，作OD垂直于β于点D。由于l1和l2是异面直线，因此OC和OD相交于点O，且OC和OD垂直于各自的平面。又因为l1和l2是l1和l2在平面α和β上的投影线，所以∠OCA和∠OBD分别是l1和l2所成的角。由于OC和OD垂直于各自的平面，因此∠OCA和∠OBD是α和β的夹角的补角。又因为OC和OD垂直于各自的平面，所以∠OCA和∠OBD互为补角，即l1和l2所成的角等于它们所在平面的夹角的补角。
（2）证明：设两条异面直线l1和l2的投影线分别为l1和l2，所在平面分别为α和β。连接l1和l2的交点为O，作OC垂直于α于点C，作OD垂直于β于点D。由于l1和l2是异面直线，因此OC和OD相交于点O，且OC和OD垂直于各自的平面。又因为l1和l2是l1和l2在平面α和β上的投影线，所以∠OCA和∠OBD分别是l1和l2所成的角。由于OC和OD垂直于各自的平面，因此∠OCA和∠OBD是α和β的夹角的补角。又因为OC和OD垂直于各自的平面，所以∠OCA和∠OBD互为补角，即l1和l2所成的角的最大值为π/2。
4.解析：
已知两条异面直线l1和l2，其中l1所在平面为α，l2所在平面为β。设l1和l2所成的角为α，要求证：α=π/2的充分必要条件是l1和l2所在平面α和β的夹角为π/2。
证明：充分性：若l1和l2所在平面α和β的夹角为π/2，则根据异面直线所成的角的定义，l1和l2所成的角α=π/2。
必要性：若l1和l2所成的角α=π/2，则根据异面直线所成的角的定义，l1和l2所在平面α和β的夹角为π/2。