第1页，共38页，星期日，2025年，2月5日§４－１根轨迹的基本概念一．举例说明根轨迹的概念特征方程的根为，第2页，共38页，星期日，2025年，2月5日令开环增益Ｋ从０变化到∞，用解析方法求不同Ｋ所对应的特征根的值，将这些值标在Ｓ平面上，并连成光滑的粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随着Ｋ值的增加，根轨迹的变化趋势。§４－１根轨迹的基本概念从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:１.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对所有的Ｋ值都是稳定的。２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ当K=0时，S1=0，S2=-1第3页，共38页，星期日，2025年，2月5日３．暂态性能（１）当０Ｋ０.25时，闭环特征根为实根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。（２）当Ｋ＝０.25时，两特征根重合，均为－0.5，系统处于临界阻尼状态。（３）当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第4页，共38页，星期日，2025年，2月5日由以上分析得知：根轨迹就是控制系统特征方程的根随系统参数变化在S平面上移动的轨迹。根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和暂态性能与系统参数之间的关系。第5页，共38页，星期日，2025年，2月5日二．绘制系统根轨迹的依据图示系统的特征方程绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改写为§４－１根轨迹的基本概念——开环传函是复变量Ｓ的函数，根据上式两边的幅值和相角分别相等的条件，可以得到第6页，共38页，星期日，2025年，2月5日这就是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制系统根轨迹的重要依据。现进一步将绘制根轨迹的幅值条件和相角条件转换成实用的形式。§４－１根轨迹的基本概念…第7页，共38页，星期日，2025年，2月5日此时，幅值条件和相角条件可写成§４－１根轨迹的基本概念－开环零点．－开环极点．注意这个形式和求稳态误差的式子不同，需变换成这种形式．将开环传递函数写成下列标准的因子式…（＊）（＊＊）第8页，共38页，星期日，2025年，2月5日×p2×p1Os0§４－１根轨迹的基本概念三．根据相角条件确定根轨迹上的点设某一系统的开环零极点如图，在Ｓ平面中的任意一点，用相角条件可以判断是不是根轨迹的点。１．从到各零极点连直线２．用量角器量,…等各个角．３．将量好的值代入（＊＊）式，若等式成立，则就是根轨迹上的点．×p3Oz1第9页，共38页，星期日，2025年，2月5日§４－１根轨迹的基本概念不满足，故不是根轨迹上的点。×p2×p1Os0×p3Oz1在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹上的点。允许有一定的误差，比如±５°。而其它区段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。绘制根轨迹图时，Ｓ平面虚轴和实轴的坐标比例应取得一致。第10页，共38页，星期日，2025年，2月5日§４－２绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们更准确、更迅速的绘制根轨迹。一．根轨迹的对称性实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。二．根轨迹的起点和终点根轨迹的起点对应于时特征根在Ｓ平面上的分布位置，而根轨迹的终点则对应于时，特征根在Ｓ平面上的分布位置。第11页，共38页，星期日，2025年，2月5日幅值条件改写当，必有Ｓ＝，即起点是开环极点。当，必有Ｓ＝，即终点是开环零点。但在控制系统中，总有nm，所以根轨迹从n个开环极点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋于无穷远处。举例如题，，起点：０，－１，无零点，n=２，m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第12页，共38页，星期日，2025年，2月5日§４