第四节矩阵秩与矩阵的等价标准形第1页，共20页，星期日，2025年，2月5日主要内容：一、秩的定义；四、一些重要的性质二、秩的求法；§2.4矩阵的秩与矩阵的等价标准形三、矩阵的等价标准形*第2页，共20页，星期日，2025年，2月5日一、秩的定义例如等等,它们都是二阶子式.等等,它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式.1、k阶子式：说明：1）在矩阵A中,任取k行k列,位于这些行列交点上的元素按原次序构成的k阶行列式,称为A的k阶子式.2）*第3页，共20页，星期日，2025年，2月5日如果矩阵Ａ中有一个不为零的ｒ阶子式，且所有ｒ＋１阶的子式（如果存在的话）全等于零,称ｒ为A的秩,记为r(A)＝ｒ.例如2、矩阵的秩：规定:零矩阵的秩是零.*第4页，共20页，星期日，2025年，2月5日回答下面问题：(2)m×n的矩阵A,其秩最大可能是?r(A)≤min(m,n)(3)A有一个r阶子式不为零,其秩至少是?r(A)≥r(4)如果A有一个r阶子式不为零,且所有r+1阶都等于零,有没有r+2阶不为零的子式？如果A的所有r阶子式都等于零,A的秩最大可能是多少?(5)r(A)=r(AT)?(6)A为n阶可逆矩阵的充要条件是r(A)=r(A)=r(AT)n(7)A=O的充要条件是r(A)=0r-1(1)矩阵的秩是否惟一?当然惟一满秩矩阵（8）如果则：没有*第5页，共20页，星期日，2025年，2月5日初等变换不改变矩阵的秩。秩的基本定理二、秩的求法：即:则:例1.求下列矩阵的秩而解:而４阶子式不存在*第6页，共20页，星期日，2025年，2月5日秩的基本定理又可叙述为:r(PmAm×nQn)=r(A)(其中P，Q是可逆矩阵)注：该定理回答了矩阵标准形中r是唯一的。它就是矩阵A的秩。阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！由以上例子说明:于是得到求秩的方法：则：*第7页，共20页，星期日，2025年，2月5日例1求矩阵A的秩建议只用行变换阶梯形不唯一*第8页，共20页，星期日，2025年，2月5日例2求和*第9页，共20页，星期日，2025年，2月5日例1三.矩阵的等价标准形*第10页，共20页，星期日，2025年，2月5日用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下等价标准形（也称相抵标准形）：等价标准形是唯一的。(等价标准形定理)定理3如果我们对矩阵*第11页，共20页，星期日，2025年，2月5日定理4(1)使得:(证明略)推论1*第12页，共20页，星期日，2025年，2月5日三、秩的一些重要性质其中A为B为其中A和Ｂ均为*第13页，共20页，星期日，2025年，2月5日*第14页，共20页，星期日，2025年，2月5日