Lebesgue控制收敛定理的相关应用分析案例

1.1求积分的极限

例求的极限．

解令，可测，

因为在上连续，所以在上可测

，

例REF_Re\r\h[5]求的极限．

解因为在上连续，所以存在，且与的值相等，

对在上面可积，并且，．然后由Lebesguue控制收敛定理可以得出

例3REF_Re\r\h[6]求的极限．

解当时，有

，

对任何

，

又因为

，

所以，根据勒贝格控制收敛定理得

．

当的时候，根据勒贝格控制收敛定理，有

．

1.2证明积分等式

例REF_Re\r\h[5]