第1页，共39页，星期日，2025年，2月5日数值计算方法上课时间：1-18周周三上午三、四节上课地点：第4，8，12，16周：1班4#机房，2班5#机房其余周次：A1-403考试方式：闭卷成绩计算方法：笔试60%，平时20%，上机20%实验工具：MatLab第2页，共39页，星期日，2025年，2月5日数值分析数值分析是数学与计算机技术结合的一门学科，是利用计算机解决数学问题的理论和方法，是计算数学的一个重要分支。第3页，共39页，星期日，2025年，2月5日现代复杂工程技术问题的解决步骤工程问题上机计算数学模型结果分析问题解答设计算法第4页，共39页，星期日，2025年，2月5日数值分析涉及的主要内容计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算（即使函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则运算而形成的小型软件包）数值代数：求解线性方程组和非线性方程组的解法，分直接方法和间接方法插值和数值逼近。离散的点上的函数值，想办法得到点之间的值数值微分和数值积分。很多函数无法求出积分，利用数值方法求解常微分方程和偏微分方程的数值解法第5页，共39页，星期日，2025年，2月5日数值分析需要考虑哪些问题计算速度例如：求解一个20阶线性方程组，20个未知量，用加减消原法需3000次乘法运算，用行列式求解需进行9.7*1020次运算，如果用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。说明了算法方法的重要性2.存储量。大型问题有必要考虑例如算法所需要保留的中间结果比较少，则可以省下为保留中间结果所需要的额外的存储空间。第6页，共39页，星期日，2025年，2月5日数值分析需要考虑哪些问题数值稳定性在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制，这与算法有关。例：一元二次方程其精确解为如用求根公式：和字长为8位的计算器求解，有又第7页，共39页，星期日，2025年，2月5日数值分析需要考虑哪些问题第8页，共39页，星期日，2025年，2月5日误差的来源和基本概念误差的来源模型误差：在建立数学模型过程中，不可能将所有因素都考虑，必然要进行必要的简化，带来了与实际问题的误差。不是数值方法考虑的问题测量误差：测量已知参数时，数据带来的误差。也不是数值方法考虑的问题截断误差：在设计算法时，必然要近似处理，寻求简化。这是计算数学考虑问题舍入误差：计算机的字长是有限的，每一步运算均需四舍五入，由此产生的误差称舍入误差。数值分析主要讨论截断误差。测量误差看成初始的舍入误差，数值分析也要从整体上讨论舍入误差的影响第9页，共39页，星期日，2025年，2月5日误差的基本概念绝对误差和绝对误差限X*是精确值，x是它的一个近似值，称e=x-x*是近似值x的绝对误差，简称误差。绝对误差可正可负，是有量纲的。误差是无法计算的，但可以估计出它的一个上界。即：第10页，共39页，星期日，2025年，2月5日第11页，共39页，星期日，2025年，2月5日相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限记作相对误差是个相对数，是无量纲的，也可正可负。相对误差的估计，即：实际计算中，x*未知，用x代替，两者的差为：第12页，共39页，星期日，2025年，2月5日第13页，共39页，星期日，2025年，2月5日例：重力加速度常数g。两者均有三位有效数字后者的绝对误差大，而相对误差分别为两者相等，与量纲的选取无关第14页，共39页，星期日，2025年，2月5日有效数字若近似值x的绝对误差限是某一位数的半个单位，则说x精确到该位，若从该位到x的左面第一位非零数字一共有n位，则称近似值x有n位有效数字。第15页，共39页，星期日，2025年，2月5日例：3.14有三位有效数字；3.1416有五位有效数字，误差限为0.00005又例：0.003529是四位有效数字，0是六位有效数字。前者的误差限为，后者为，写成标准的浮点数为：第16页，共39页，星期日，2025年，2月5日当其中，有效数字的个数是l,即第17页，共39页，星期日，2025年，2月5日有效数字：由绝对误差决定第18页，共39页，星期日，2025年，2月5日第19页，共39页，星期日，2025年，2月5日第20页，共39页，星期日，2025年，2月5日有效数字与相对误差第21页，共39页，星期日，2025年，2月5日此定理说明，相对误差限是由有效数字决定。第22