3.10用拉普拉斯变换法求系统响应·传递函数计算线性系统对任意非周期激励的响应也可以用拉普拉斯（Laplace,P.S.）变换。对于任意函数x(t)，定义拉普拉斯(Laplace,P.S.)变换式为其中s=σ+iω为复变量，称为拉普拉斯变换的辅助变量。当σ=0时，这是x(t)的傅里叶变换。因此拉普拉斯变换可视为傅里叶变换向复数域的扩展。（3.10-1）第30页，共47页，星期日，2025年，2月5日可以证实，拉普拉斯变换为线性变换：对x(t)的一阶导数做拉普拉斯变换：（3.10-2）对x(t)的二阶导数做拉普拉斯变换：（3.10-3）第31页，共47页，星期日，2025年，2月5日利用以上公式对线性系统受迫振动方程做拉普拉斯变换：上式是将自变量t的线性常微分方程变换成自变量为s的代数方程，且包含了外激励和初始扰动在内的全部激励，是拉普拉斯变换的最大优点。（3.10-4）令：（3.10-5）第32页，共47页，星期日，2025年，2月5日如激励力F(t)延迟在t=t1时刻发生，将F(t-t1)代入拉普拉斯变换式：作用时间滞后对拉普拉斯变换的影响由指数函数体现若初始扰动为零，从方程（3.10-5）导出：若s=iω,上式就是第二章讲到的位移阻抗（k-mω2+icω）。因此Z(s)称为系统的广义阻抗，其倒数称为系统的传递函数或广义导纳。记作：第33页，共47页，星期日，2025年，2月5日第1页，共47页，星期日，2025年，2月5日3.8系统对任意激励的响应·卷积积分上节讨论了周期激励作用下的振动响应，在不考虑初始阶段的瞬态响应时，它是稳态的周期振动。但在现实中激励并非是周期的，而是任意的周期函数，或者是在极短时间内的冲击作用。在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。激励停止后，系统按固有频率作自由振动。若激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也会持续下去。对任意激励的响应，求解方法有多种：第2页，共47页，星期日，2025年，2月5日3.8.1脉冲响应对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数δ(t)表示δ函数也称为单位脉冲函数，定义为：对于τ时刻的单位脉冲函数，表示为：O-εε（3.1.1）第3页，共47页，星期日，2025年，2月5日δ函数的性质:特别地，当时刻τ=0时，有：实际应用时，通常f(t)在时才有意义冲量为的脉冲力可借助δ函数表示为：当I=1时，为单位脉冲力。因而有：第4页，共47页，星期日，2025年，2月5日现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应单位脉冲响应记：-ε、ε为单位脉冲力的前后时刻运动微分方程与初始条件可合写为：或脉冲响应乘dt：在脉冲力作用的瞬间，位移来不及变化，但速度可产生突变令：0-εε第5页，共47页，星期日，2025年，2月5日两边在区间内对时间积分：在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间，位移则来不及有改变，也习惯表示为：x(0+)=x(0-)当tε时，脉冲力作用已经结束，此时物体得到了速度增量1/m。由于ε无限小，所以记为：质量越大，越小质量越小，越大若系统受到冲量为I脉冲作用，结束时物体得到了速度增量I/m。第6页，共47页，星期日，2025年，2月5日系统受脉冲I作用，因脉冲结束后无后续激励，因此响应为自由振动。其初始条件为：初位移为零，而初速度为I/m。对无阻尼系统：因此解为：对单位脉冲，其响应为脉冲响应，记为h(t)：第7页，共47页，星期日，2025年，2月5日3.8.2卷积积分当处于零初始条件的系统受到任意激励时，可以将激励F(t)看作一系列脉冲力的叠加对于时刻t=τ的脉冲力，系统受脉冲作用后产生速度增量：并引起tτ各个时刻的响应系统的脉冲响应：其冲量为：由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间内各个脉冲响应的总和得：杜哈梅(Duhamel)积分第8页，共47页，星期日，2025年，2月5日利用卷积性质：若初始条件非零，则：第9页，共47页，星期日，2025年，2月5日若阻尼为零，则非零初值条件下的响应：对于周期激励的无阻尼系统：与零初值条件的受迫振动的稳态响应一致。第10页，共47页，星期日，2025年，2月5日3.8.3阶跃函数响应在t1时