机器人学导论;机器人学导论;定义：
如果规定一个机器人从A点经过B点运动到C点而不强调时间的概念，那么这一过程中的位形序列就构成了一条路径。如果我们强调到达其中任意一点的时间，那么这就是一条轨迹。我们可以看出轨迹和路径的区别就在于轨迹依赖速度和加速度。;5.2关节空间描述与直角空间描述;特点：路径可控且可预知，直观、容易看到机器人末端轨迹；但计算量大，容易出现奇异点，如下图所示：;轨迹穿过机器人自身;§5.3轨迹规划的基本原理;2.在1的基础上对关节速率做归一化处理，使各关节同时到达终点。
特点：各关节同时到达终点，轨迹各部分比较均
衡，但所得路径仍然是不规则的。;二直角坐标空间轨迹规划
1.首先画出路径，接着将路径n等分(为了获得较好的沿循精度，n越大越好)，分别计算到达各点所需的关节变量。
特点：关节角非均匀变化，末端沿已知路径行走。;2.在1的基础上，考虑各关节的加速减速时间，为防止在加速期间轨迹落后于设想的轨迹，在划分分界点时，如果是直线轨迹，就按照方程划分。曲线轨迹就相对复杂一些。;3.多点的情况
（1）从A向B先加速，再匀速，接近B时再减速，从B到C再重复。为避免这一过程中不必要的停止动作，可将B点两边的动作进行平滑过渡。机器人先抵达B点，然后沿着平滑过渡的路径重新加速，最终抵达并停止在C点。;（2）考虑到由于采用了平滑过渡曲线，机器人经过的可能不是原来的B点，可事先设定一个不同的B’’点，使曲线正好经过B点。;(3)在B点前后各加过渡点D,E，使得B点落在DE上。;三轨迹规划的分类;§5.4关节空间的轨迹规划;从上例可以看出，若我们已知开始和终止时刻的角度以及角速度，那么就可以求得，进而求得关节的运动方程。;尽管每一个关节都是分别计算的，但是在实际控制中，所有关节自始至终都是同步运动；
如果机器人初始和末端速度不为零，可以通过给定数据得到未知数值；
如果要求机器末端人依次通过两个以上的点，则每一段求解出的边界速度和位置均可作为下一段的初始条件，其余相同；
位置、速度连续，但是加速度不连续。;例5.1：已知一个关节在5秒之内从初始角30度运动到终端角75度，使用三次多项式计算在第1，2，3，4秒时关节的角度。（我们假设在开始和终止的瞬间关节的速度是0)
解：由题意可得到;我们可以进一步画出关节的位置，速度和加速度曲线;可以看出，本例中需要的初始加速度为10.8度/秒2
运动末端的角加速度为-10.8度/秒2。;解：;为保证机器人的加速度不超过其自身能力，应考虑加速度的限制。;二、五次多项式轨迹规划
同例5.1，若采用五次多项式，若再已知初始加速度和末端减速度均为5度/秒2，其他条件不变，试画出三条相应曲线。（边界条件变为6个）;第24页，共44页。;关节位置、速度和加速度图形;三、抛物线过渡的线性运动轨迹
如果机器人关节以恒定速度运动，那么轨迹方程就相当于一次多项式，其速度是常数，加速度为0，这说明在起点和终点，加速度为无穷大，只有这样才可以瞬间达到匀速状态。但很显然这是不可能的，因此在起点和终点处，可以用抛物线来进行过渡。如图所示;显然，这个抛物线运动段的加速度是一常数，并在公共点A和B上产生连续的速度。将边界条件代入抛物线段的方程，得到：;显然，对于直线段，速度将保持为常值，它可以根据驱动器的物理性能来加以选择。将零出速度、线性段常值速度以及零末端速度代入和中，可以得到A、B点以及终点的关节位置和速度如下：;显然，不能大于总时间的一半，否则在整个过程中将没有直线运动段而只有抛物线加速和抛物线减速段。由上式可以计算出对应的最大速度。应该说明，如果运动段的初始时间不是0而是，则可采用平移时间轴的办法使初始时间为0。终点的抛物线段是对称的，只是其加速度为负。因此可表示为：;第30页，共44页。;例题：若已知某关节以速度=10度/秒在5秒内从初始角运动到目的角。求解所需的过渡时间并绘制位置、速度和加速度曲线。;第32页，共44页。;§5.5直角坐标空间的轨迹规划;以上过程可以简化为如下的计算循环：;和终点构型之间的总变换R可通过下面的方程进行计算：;这一方法需要进行大量的计算，并且仅当雅可比矩阵逆存在时才有效。
(2)在起点