．又记第28页，共48页，星期日，2025年，2月5日性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质第29页，共48页，星期日，2025年，2月5日性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有第30页，共48页，星期日，2025年，2月5日例1比较下列积分的大小：1）与其中D:0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在区域D内，显然有故在D内第31页，共48页，星期日，2025年，2月5日,其中区域D为顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。2）解：BC的方程x+y=2D内所以A(1,0)B(2,0)B(1,1)第32页，共48页，星期日，2025年，2月5日性质6（估值定理）设在D上f(x,y)的最大值为M，最小值为m，A为D的面积，即则证明：因为由性质5所以第33页，共48页，星期日，2025年，2月5日例2解：在D内的最大值为4，最小值为1区域D的面积为2所以由性质6得第34页，共48页，星期日，2025年，2月5日第1页，共48页，星期日，2025年，2月5日§1二重积分的概念一、平面图形的面积二、二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质第2页，共48页，星期日，2025年，2月5日一平面图形的面积1.内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念第3页，共48页，星期日，2025年，2月5日第4页，共48页，星期日，2025年，2月5日（2）(3)第5页，共48页，星期日，2025年，2月5日于是由（3）可得使得（2）式成立．但第6页，共48页，星期日，2025年，2月5日所以第7页，共48页，星期日，2025年，2月5日定理21．2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零．证由定理21．1，P可求面积的充要条件是：由于第8页，共48页，星期日，2025年，2月5日第9页，共48页，星期日，2025年，2月5日还可证明得到：第10页，共48页，星期日，2025年，2月5日柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积二二重积分的定义及其存在性第11页，共48页，星期日，2025年，2月5日播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第12页，共48页，星期日，2025年，2月5日解：对区域D进行网状分割（如图）曲顶柱体的体积一曲顶柱体其顶为曲面底面为平面区域D,求此曲顶柱体的体积。第13页，共48页，星期日，2025年，2月5日曲顶柱体的体积第14页，共48页，星期日，2025年，2月5日3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体积之和为4）取极限：2）近似：每个个小区域内任取一点则每个小曲顶柱体的体积近似为：其中第15页，共48页，星期日，2025年，2月5日2平面薄片的质量2）取点3）作和4）取极限设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点（x,y)处的密度为求：此薄片的质量第16页，共48页，星期日，2025年，2月5日3.二重积分的概念第17页，共48页，星期日，2025年，2月5日积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素第18页，共48页，星期日，2025年，2月5日注：1）在二重积分定义中，对区域D的划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域则故在直角坐标系中，都是矩形闭区域。设矩形小闭区域的边长为和行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含，第19页，共48页，星期日，2025年，2月5日0xyD直角坐标系下面积元素图示第20页，共48页，星期日，2025年，2月5日2）由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在D上的二重积分平面薄片的质量是面密度在薄片所占闭区域D上的二重积分：第21页，共48页，星期日，2025年，2月5日3）二重积分的几何意义：（1）如果则二重积分解释为曲顶柱体的体积。（2）如果则二重积分解释为曲顶柱体体积的负值。（3）如果则二重积分解释为曲顶柱体体积的代数和