证明第57页，共96页，星期日，2025年，2月5日4.比较审敛法的极限形式:设?￥=1nnu与?￥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若?￥=1nnv发散,则?￥=1nnu发散;第58页，共96页，星期日，2025年，2月5日证明由比较审敛法的推论,得证.第59页，共96页，星期日，2025年，2月5日第60页，共96页，星期日，2025年，2月5日解原级数发散.故原级数收敛.第61页，共96页，星期日，2025年，2月5日证明第62页，共96页，星期日，2025年，2月5日收敛发散第63页，共96页，星期日，2025年，2月5日比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:第64页，共96页，星期日，2025年，2月5日第65页，共96页，星期日，2025年，2月5日解第66页，共96页，星期日，2025年，2月5日比值审敛法失效,改用比较审敛法第67页，共96页，星期日，2025年，2月5日级数收敛.第68页，共96页，星期日，2025年，2月5日例5.判别的敛散性.解：由于故该级数发散.第25页，共96页，星期日，2025年，2月5日例6.证明调和级数是发散的.证调和级数的部分和有：第26页，共96页，星期日，2025年，2月5日第27页，共96页，星期日，2025年，2月5日由数学归纳法，得k=0,1,2,?而故不存在，即调和级数发散.第28页，共96页，星期日，2025年，2月5日若c?0为常数，则有相同的敛散性，且三、无穷级数的性质性质1第29页，共96页，星期日，2025年，2月5日证的部分和为的部分和为故从而同时收敛或同时发散.第30页，共96页，星期日，2025年，2月5日若其和分别为S1和S2，则级数且性质2第31页，共96页，星期日，2025年，2月5日证的部分和为：故第32页，共96页，星期日，2025年，2月5日即级数收敛，且第33页，共96页，星期日，2025年，2月5日例7.因为等比级数所以级数第34页，共96页，星期日，2025年，2月5日例8.问题(1)一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2)两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定.第35页，共96页，星期日，2025年，2月5日在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.(但对收敛级数来说，它的和将改变.)性质3第36页，共96页，星期日，2025年，2月5日证设级数的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数的部分和为Sk:第37页，共96页，星期日，2025年，2月5日由于Sm当m固定时为一常数，所以故级数与级数第38页，共96页，星期日，2025年，2月5日对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.性质4第39页，共96页，星期日，2025年，2月5日例9.考虑一下几个问题：(1)收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？答：不一定.(2)发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？答：不一定发散.(3)如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？答：原级数也发散.第40页，共96页，星期日，2025年，2月5日证明四、级数收敛的必要条件：第41页，共96页，星期日，2025年，2月5日注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要条件不充分.第42页，共96页，星期日，2025年，2月5日讨论第43页，共96页，星期日，2025年，2月5日8项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发散.第44页，共96页，星期日，2025年，2月5日五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法第45页，共96页，星期日，2025年，2月5日思考题第46页，共96页，星期日，2025年，2月5日思考题解答能．由柯西审敛原理即知．第47页，共96页，星期日，2025年，2月5日练习题第48页，共96页，星期日，2025年，2月5日第49页，共96页，星期日，2025年，2月5日练习题答案第50页，共96页，星期日，2025年，2月5日§2正项级数第十二章数项级数第51页，