第1-2无穷大小量和连续性第1页，共30页，星期日，2025年，2月5日三、两个重要极限或注:代表相同的表达式四、函数极限的方法(1)有理分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法（变量代换）(3)两个重要极限第2页，共30页，星期日，2025年，2月5日思考与练习填空题(1～4)第七节第3页，共30页，星期日，2025年，2月5日第二节极限(之二)一、无穷小量、无穷大量二、函数的连续性本节内容:第4页，共30页，星期日，2025年，2月5日当一、无穷小量与无穷大量(1)定义.时,则称函数f(x)例如:函数1/x为无穷小;函数是当为时的无穷小量,的无穷小.1.无穷小量注：①0是无穷小.无穷小不是一个很小的数.②无穷小必须指明x的趋向.简称无穷小.除0之外，所有的无穷小都是变量；第5页，共30页，星期日，2025年，2月5日结论10证明：第6页，共30页，星期日，2025年，2月5日其中?(x)为时的无穷小量.对自变量x的其它变化过程结论仍成立.定理.(无穷小与函数极限的关系)由例得当x→0的无穷小量第7页，共30页，星期日，2025年，2月5日性质1:有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量;性质2:常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量;(2)无穷小量的性质证明：注：两个无穷小的商不一定是无穷小.反例第8页，共30页，星期日，2025年，2月5日性质3:例3.求根据性质3，有是个有界变量,函数x是x→0时的无穷小,解：有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量;证明：第9页，共30页，星期日，2025年，2月5日(3)无穷小的阶为了比较两个无穷小趋于0的速度,引入无穷小的阶.当x→0时，x2→0比x→0速度“快些”；反过来，x→0比x2→0速度“慢些”；sinx→0与x→0速度“快慢相仿”.第10页，共30页，星期日，2025年，2月5日(3)无穷小的阶①则称?是比?高阶的无穷小,②设是自变量同一变化过程中的无穷小,记则称?是比?低阶的无穷小;定义.为了比较两个无穷小趋于0的速度,引入无穷小的阶.③则称?与?是同阶无穷小;④则称?是关于?的q阶无穷小;则称?与?等阶无穷小;第11页，共30页，星期日，2025年，2月5日例如,当～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷小,～且第12页，共30页，星期日，2025年，2月5日例4.证明:证:目录上页下页返回结束因此即有等价关系:说明:上述证明过程也给出了等价关系:第13页，共30页，星期日，2025年，2月5日当x→0时，常用等价无穷小:第14页，共30页，星期日，2025年，2月5日★等价无穷小替换定理：且存在,则证:例5.设第15页，共30页，星期日，2025年，2月5日(3)求解:第16页，共30页，星期日，2025年，2月5日因式代替规则:界,则例如,?例6(辨析)解:原式错误原因:①x→?,sinx不等价于x,②和差不能代替sin?不等价于?;第17页，共30页，星期日，2025年，2月5日(1)定义.当x→x0(或x→∞)时,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大,记作2.无穷大量若函数f(x)的绝对值无限增大，无穷大分两种情况：正无穷大、负无穷大例如，第18页，共30页，星期日，2025年，2月5日(2)无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理.在自变量的同一变化过程中,说明:(不存在)第19页，共30页，星期日，2025年，2月5日内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系4.无穷小与无穷大的关系作业练习题1.2（P28）2(习题指南)、4第五节（等价无穷小替换定理）3.无穷小的阶第20页，共30页，星期日，2025年，2月5日可见,函数在点二、函数连续性的定义定义1:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函