第五章三角函数
5.1.2弧度制
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一、教学目标
1.理解并掌握弧度制的定义，并能熟练的进行角度制与弧度制的换算，提升学生的数学运算素养；
2.掌握运用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式；
3.通过弧度制的学习使学生理解并认识到，角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立，割裂的关系，提升学生逻辑推理素养.
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二、教学重难点
重点：理解弧度的定义，熟练掌握弧度与角度的换算.
难点：理解弧度的定义，孤度制的产生过程和所蕴含的数学思想.
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三、教学过程
（一）创设情境
生活中在度量时，会用到不同的单位制.比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制；度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.
思考：角的度量单位是什么呢？换算的进制是多少呢？它是否也能用不同的单位制呢？是否可以用十进制的实数来度量角的大小呢？
师生活动：教师展示生活中常见的度量工具，提出问题，引导学生思考角度的单位除了度还有哪种形式，引入本节课的内容.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受.同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中.能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：回顾角度制的概念.
思考：学过哪些度量角的单位？
答：度、分、秒.
思考：1°是如何定义的呢？
答：将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的角叫做1°的角，即规定圆周的1360
思考：度、分、秒又如何换算呢？
答：度与分、分与秒之间一律采用六十进制.即1°=60′，1′=60″.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过回顾之前的知识，为本节课要突破和学习的重点知识内容做准备.
任务2：探究弧度制的概念
探究：弧度制是用弧长来度量圆心角的吗？弧长可以度量角吗？
答：如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB所形成角α.在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应圆心角α.
设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧长为
思考：圆心角α确定时，弧长l确定吗？弧长和圆心角有什么关系呢？
答：由初中所学知识可知：l=nπ
探究：如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ=r1在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1
答：当圆心角α不变时，lr
所以，圆心角α所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.也就是说，这个比值随α确定而唯一确定.
所以可以用圆的弧长与半径的比值度量圆心角，而这种度量像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小.这就是度量角的另一种单位制——弧度制.
规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
思考：2弧度角怎样表示呢，5弧度角呢，α弧度角呢？
答：根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l所对的圆心角为αrad，那么α=
其中，α的正负由角α的终边旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.
口诀：逆正顺负.
思考：任意角α的弧度数怎么表示呢？
答：当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或小于?2π的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数，零角的弧度数是0.
任务3：探究角度制与弧度制的相互换算
思考：角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间如何换算呢?
答：因为周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以
360°=2πrad，180°=πrad
180
180
1°
1rad=
思考：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？
答：与角α终边相同的角：β丨
终边在x轴上：α丨
终边在y轴上：α丨
探究：填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
度
0°
30°
45°
120°
135°
150°
360°
弧度
π
π
π
3
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角对应的弧度数.如α=2表示α
思考：任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？
答：对于任意一个实数α满足ir=α，那么l=αr，此时α绝对值的大小确定，再由α
（三）应用举例
例1：（1）把135°、240°、60°30′化成弧度.
（2）将3.14rad、π4rad、
解：（1）135°=135×
240°=240×π
因为60°30′=135
所以60°30′=135
（2）3.14rad=3.14×180
π4
5π
总结：角度与弧度的换算
①角度转弧度：弧度=角度×π
②弧度转角度：角度=弧度×180
例2：利用弧