2025年大学《数理基础科学》专业题库——群论在密码学中的重要性

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一、

1.设G是一个群，a,b∈G。若(ab)^2=a^2b^2，证明G是阿贝尔群。

2.设G是一个有限群，|G|=n。若对于任意x∈G，都有x^n=e（e为G的单位元），证明G中每个元素的阶都不超过n。

3.设G是一个群，a∈G且a≠e。证明a的阶等于a的逆元a^(-1)的阶。

二、

1.证明置换群S_n（n≥2）中，任何两个不相交的轮换的乘积