2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学分析与微积分的前沿研究

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一、

设$X=(0,1]$，在$X$上定义两个函数序列$\{f_n\}$和$\{g_n\}$如下：

$f_n(x)=x^n$，$g_n(x)=\begin{cases}1\text{if}x=\frac{1}{n},\\0\text{otherwise}.\end{cases}$

讨论$\{f_n\}$和$\{g_n\}$在$X$上的点态收敛性、一致收敛性以及作为$[0,1]