2025年数学概率论考研冲刺试卷（含答案）
考试时间：______分钟总分：______分姓名：______
一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题后的括号内。
1.设事件A与B互斥（A∩B=Φ），且P(A)0,P(B)0，则下列结论中正确的是（）
（A）A与B独立
（B）A与B不独立
（C）A与B互为对立事件
（D）A与B可能独立
2.已知随机变量X的分布函数为F(x)={0,x0;(1-p)+px,0≤x1;1,x≥1}，其中p是未知参数（0p1），则P(X≤1/2)的值为（）
（A）1-p
（B）p
（C）(1-p)+p/2
（D）(1-p)/2
3.设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布，则随机变量Z=X-Y的分布列为（）
（A）P(Z=k)=(e^(-2λ)*(λ^k))/k!,k=0,1,2,...
（B）P(Z=k)=(e^(-λ)*(λ^k))/k!,k=0,1,2,...
（C）P(Z=k)=[e^(-2λ)*((λ/2)^k)]/k!,k=0,1,2,...
（D）P(Z=k)=(-1)^k*(e^(-2λ)*(λ^k))/k!,k=0,1,2,...
4.设随机变量X和Y的方差分别为DX=1，DY=4，且X与Y的相关系数ρXY=1/2，则X与Y的协方差cov(X,Y)为（）
（A）1/2
（B）2
（C）4
（D）1
5.设随机变量X的期望E(X)=2，方差DX=4，根据切比雪夫不等式，对于任意ε0，有P(|X-2|≥ε)≤（）
（A）1/ε
（B）4/ε^2
（C）1/(4ε^2)
（D）ε^2/4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。请将答案填在题中横线上。
6.设A,B,C为三个事件，且P(A)=1/2，P(B|A)=1/2，P(A∪B)=2/3，则P(A∩B)=。
7.设随机变量X的密度函数为f(x)={c*x^2,0≤x≤2;0,其他}，则常数c=。
8.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,9)，Y～N(0,4)，则E(XY)=。
9.设随机变量X与Y的协方差为2，X的方差为4，Y的方差为5，则X与Y的相关系数ρXY=。
三、解答题：本大题共5小题，满分74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10.（本小题满分12分）甲、乙两人约定在下午1点至2点之间在某地会面。他们约定先到者等待另一人15分钟，过时就离开。假设两人在下午1点至2点之间（60分钟内）的任何时刻到达都是等可能的，求两人能会面的概率。
11.（本小题满分12分）设随机变量X的分布律为：
X-101
P0.20.50.3
求：（1）随机变量Y=|X|的分布律；（2）E(X)和E(Y)。
12.（本小题满分12分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
f(x,y)={k*(x+y),0≤y≤x≤1;
0,其他。
}
（1）求常数k的值；（2）求边缘密度函数fX(x)和fY(y)；（3）判断X与Y是否独立。
13.（本小题满分14分）设随机变量X和Y相互独立，都服从N(0,1)分布。证明：随机变量Z=X^2+Y^2服从χ^2分布，并指出其自由度。
14.（本小题满分14分）设随机变量X与Y的联合分布函数为：
F(x,y)={0,x0或y0;
a+bx+cy-bc,0≤x1,0≤y1;
a+b+c-bc,x≥1,0≤y1;
a+b+bc,0≤x1,y≥1;
1,x≥1,y≥1。
}
其中a,b,c为常数。（1）求常数a,b,c的值；（2）求边缘分布函数FX(x)和FY(y)；（3）判断X与Y是否相互独立。
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试卷答案
1.B
2.C
3.A
4.B
5.C
6.