2025年考研数学二线性代数模拟试卷（含答案）
考试时间：______分钟总分：______分姓名：______
一、选择题：
1.若齐次线性方程组(I)的基础解系为{(1,0,1)?,(0,1,0)?}，则方程组(I)可表示为
(A)x?+x?=0,x?=0
(B)x?+x?=0,x?+x?=0
(C)x?=0,x?+x?=0
(D)x?+x?=0,x?+x?=0
2.设向量组α?=(1,1,1)?,α?=(1,2,3)?,α?=(k,1,2)?，则下列关于k的值判断正确的是
(A)k=2时，向量组线性无关
(B)k=0时，向量组线性相关
(C)k=-1时，向量组线性无关
(D)对任意k，向量组均线性相关
3.设A为n阶矩阵，且A2-A=O，则下列命题一定正确的是
(A)A必为可逆矩阵
(B)A必为不可逆矩阵
(C)A必有特征值1或0
(D)A必有特征值n
4.设A,B为n阶可逆矩阵，则下列运算中不一定可逆的是
(A)A2
(B)AB
(C)A+B
(D)|A|(这里|A|指行列式)
5.设A是3阶矩阵，其特征值为λ?=1,λ?=2,λ?=3，则|A|等于
(A)6
(B)3
(C)1
(D)-6
二、填空题：
1.设向量组α?=(1,2,3)?,α?=(k,1,1)?,α?=(1,k,1)?线性相关，则k的取值为___________。
2.若非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A,b)经初等行变换化为(I,γ)，其中I为4阶单位矩阵，γ=(1,2,3,4)?，则该方程组的解的情况是___________。
3.设A=[a??]是3阶矩阵，且A的每行元素之和均为5，则A的一个特征向量可以是(1,1,1)?，对应的特征值是___________。
4.若n阶矩阵A满足A3=O，则(E-A)?1=___________(E为n阶单位矩阵)。
5.二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+2x?x?-2x?x?+4x?x?的矩阵表示为Q=___________，且其正惯性指数为2。
三、解答题：
1.计算行列式D=|123;012;13k|的值。
2.已知向量组α?=(1,0,1)?,α?=(0,1,1)?,α?=(1,1,0)?。
(1)证明向量组α?,α?,α?线性无关；
(2)若向量β=(1,2,3)?，将β用α?,α?,α?线性表示。
3.设线性方程组
{x?+2x?+x?=1
{2x?+3x?+(k+1)x?=3
{x?+x?+3x?=k
问k取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解。
4.设矩阵A=[12;01]，求A?(n为正整数)。
5.设矩阵A=[12;13]，求A的特征值和特征向量，并判断A是否可对角化。若可对角化，求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵。
6.设二次型f(x?,x?,x?)=x?2+x?2+x?2+2λx?x?+2μx?x?+2tx?x?。
(1)若f(x?,x?,x?)的正惯性指数为2，求λ,μ,t应满足的条件；
(2)若λ=1,μ=-2，且f(x?,x?,x?)可通过正交变换x=Pz化为标准形z?2+z?2-z?2，求t的值。
试卷答案
一、选择题：
1.(A)
2.(B)
3.(C)
4.(C)
5.(A)
二、填空题：
1.k=0或k=1
2.无解
3.5
4.E+A+A2
5.Q=[11-1;122;-123]
三、解答题：
1.解析思路：利用行列式按行（列）展开定理或初等行变换将