考研数学2025年线性代数专项训练试卷（含答案）
考试时间：______分钟总分：______分姓名：______
一、选择题（每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.设矩阵A=(a_{ij})_{3×3}，其中a_{ij}=(i+j)^2-1(i,j=1,2,3)，则矩阵A的秩为
(A)1
(B)2
(C)3
(D)0
2.向量组α_1=(1,1,2)^T,α_2=(1,3,-x)^T,α_3=(2,-1,1)^T线性相关的充分必要条件是
(A)x=5
(B)x=-1
(C)x=0
(D)任何实数x
3.设A是n阶可逆矩阵，B是n阶不可逆矩阵，则下列矩阵中必不可逆的是
(A)A+B
(B)AB
(C)BA
(D)A-B
4.设A是n阶实对称矩阵，且满足A^2=A，则下列结论正确的是
(A)A的特征值只有0和1
(B)A的秩为n
(C)A的特征向量都是实向量
(D)A可以对角化
5.设A是3阶矩阵，其特征值为-1,1,2，则|A^*|=（A^*表示A的伴随矩阵）
(A)-6
(B)-2
(C)2
(D)6
二、填空题（每小题4分，共20分。）
6.设A=[a_{ij}]是4×4矩阵，a_{ij}=(i-j)^3，则|A|=。
7.若向量组α_1,α_2,α_3线性无关，且向量β_1=α_1+α_2,β_2=α_2+α_3,β_3=α_3+α_1，则向量组β_1,β_2,β_3的秩为。
8.设A是3阶矩阵，且|A|=2，A^*是A的伴随矩阵，则(A^*)^(-1)=。
9.设A=[1,2,3;0,4,5;0,0,6]，B=[1,0,0;2,1,0;3,2,1]，则|AB|=。
10.设A是n阶正定矩阵，B是n阶可逆矩阵，则矩阵B^TAB也是正定矩阵。
三、计算题（每小题8分，共24分。）
11.计算行列式|A|，其中A=[1,2,3;0,1,2;2,1,0]。
12.已知向量组α_1=(1,1,1)^T,α_2=(1,2,3)^T,α_3=(1,3,t)^T。
(1)当t为何值时，向量组α_1,α_2,α_3线性无关？
(2)当t=5时，求向量β=(1,2,5)^T由向量组α_1,α_2,α_3线性表示的表示式。
13.设矩阵A=[1,2;3,4]，求矩阵A的特征值和特征向量。
四、证明题（每小题10分，共20分。）
14.证明：如果n阶矩阵A可逆，且A与B相似，则B也可逆。
15.设A是n阶实对称矩阵，且满足A^2=A。证明：A可以对角化。
试卷答案
一、选择题
1.(C)
2.(A)
3.(B)
4.(A)
5.(D)
二、填空题
6.0
7.3
8.1/4|A|
9.24
10.是
三、计算题
11.解：|A|=1×(1×0-2×1)-2×(0×0-2×2)+3×(0×1-1×2)=-2-(-8)-6=0。
12.解：
(1)令矩阵M=[α_1,α_2,α_3|e_1]，其中e_1=(1,0,0)^T。
M=[111|1;123|0;13t|0]
进行初等行变换：r_2-r_1-r_2;r_3-r_1-r_3
=[111|1;012|{-1};02t-1|{-1}]
r_3-2r_2-r_3
=[111|1;012|{-1};00t-5|{-1}]
当t≠5时，M的秩大于3，向量组线性相关。当t=5时，M的秩为2，向量组线性无关。
故向量组α_1,α_2,α_3线性无关的充分必要条件是t=5。
(2)当t=5时，向量组α_1,α_2,α_3线性无关。
令矩阵M=[