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函数的单调性
知能点全解：
知能点一：函数单调性的定义
1、图形描述：
从函数的图象（图1）看到：图象在
轴的右侧部分是从左向右连续上升的，也就
是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的
增大,相应的值也随着增大，即如果任取，得到=,=,那么当时，有。这时我们就说函数=在[0,+)上是增函数。
图象在轴的左侧部分是从左向右连续下降的，也就是说，当在区间上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果任取，得到=,=,那么当时，有。这时我们就说函数=在(-,0)上是减函数.
2、定量描述
对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
（1）若当时，都有,则说在区间D上是增函数；
（2）若当时，都有,则说在区间D上是减函数。
3、单调性与单调区间
若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：
1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的，如图2。
2、函数的单调区间是其定义域的子集；
3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
例1如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。
知能点二：用定义证明函数的单调性
例2：证明函数是增函数。
例3：证明函数在上是减函数
特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：
（1）取值，即设是区间上的任意两个实数，且；
（2）作差变形，即，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
（3）判断的正负，当正负不确定时，可以分区间进行讨论，判断正负；
（4）根据定义得出结论。
及时演练：
1、判断并证明下列函数的单调性
（1）（2）
（3） （4）
2、讨论下列函数的单调性，指出其单调区间并予以证明
（1） （2）
（3）（4）
3、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数
（1）（2）（3）
（4）
4、讨论函数在(-2,2)内的单调性
知能点三：判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论
1、函数与函数的单调性相反
2、当恒为正或恒为负时，函数与函数的单调性相反
3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。
例4：求函数的单调区间。
及时演练：
1、下列函数中，在区间上为增函数的是（）
A、B、C、D、
2、在上单调递减的函数是（）
A、B、C、D、
3、函数的单调递减区间是。
4、已知定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且，则（）
A、为减函数B、为增函数
C、为减函数D、为增函数
5、的单调减区间是。
6、二次函数的递增区间为，则二次函数的递减区间为。
7、已知函数，则使函数是减函数的区间是。
8、设是定义在区间上的增函数，且，则下列函数：①；②③；④中，是减函数的有（把序号填在横线上）。
知能点四：复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：
增↗
减↘
增↗
减↘
增↗
减↘
增↗
减↘
减↘
增↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
例5：求函数的单调递增区间.
拓展知识点：函数的单调性
（1）单调增区间：
（2）单调减区间：
（3）图像的两条渐进线分别为和
（4）图像如右：
典型题型全解
题型一：利用函数单调性比较函数值的大小
例6：如果函数，对任意实数都有，比较的大小。
及时演练
已知，当时，为增函数，设，则的大小关系为。
2、若，且，函数，则与的大小关系为_
3、函数对任意均有，那么的大小关系为。
题型二：利用函数单调性求参数的范围
例7：已知在上是减函数，求实数的取值范围。
及时演练：
1、若函数在上是增函数，则有（）
A、B、C、D、