第三章函数的极值及其求法第1页，共23页，星期日，2025年，2月5日
一、函数极值的定义第2页，共23页，星期日，2025年，2月5日
定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第3页，共23页，星期日，2025年，2月5日
二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,第4页，共23页，星期日，2025年，2月5日
注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号③不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。第5页，共23页，星期日，2025年，2月5日
定理2(第一充分条件)(是极值点情形)第6页，共23页，星期日，2025年，2月5日
求极值的步骤:(不是极值点情形)第7页，共23页，星期日，2025年，2月5日
例1解列表讨论极大值极小值第8页，共23页，星期日，2025年，2月5日
图形如下第9页，共23页，星期日，2025年，2月5日
定理3(第二充分条件)证第10页，共23页，星期日，2025年，2月5日
例2解图形如下第11页，共23页，星期日，2025年，2月5日
注意:第12页，共23页，星期日，2025年，2月5日
例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.第13页，共23页，星期日，2025年，2月5日
例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点，第14页，共23页，星期日，2025年，2月5日
例5设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f2(a)是否是f2(x)的极值证分两种情况讨论①所以f2(a)是f2(x)的极小值第15页，共23页，星期日，2025年，2月5日
②设f(a)是f(x)的极小值，且又f(x)在x=a处连续，且f2(a)是f2(x)的极大值同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况第16页，共23页，星期日，2025年，2月5日
例6假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当n为偶数时，f(x0)是f(x)的极值当n为奇数时，f(x0)不是f(x)的极值证由Taylor公式，得第17页，共23页，星期日，2025年，2月5日
因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形①n为奇数，当x渐增地经过x0时变号不变号变号不是极值第18页，共23页，星期日，2025年，2月5日
②n为偶数，当x渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且当时是极小值当时是极大值第19页，共23页，星期日，2025年，2月5日
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)三、小结第20页，共23页，星期日，2025年，2月5日
思考题下命题正确吗？第21页，共23页，星期日，2025年，2月5日
思考题解答不正确．例第22页，共23页，星期日，2025年，2月5日
在–1和1之间振荡故命题不成立．第23页，共23页，星期日，2025年，2月5日