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文档摘要

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分形视角下的随机过程：从布朗运动到复杂系统的几何特性

一、引言：随机过程与分形几何的交织

（一）分形理论的起源与随机过程研究的范式转变

在传统的数学与科学认知体系中，欧几里得几何占据着重要地位，它为我们理解规则、平滑的几何形状提供了坚实的基础，如直线、平面和规则立体图形等。然而，随着科学研究的不断深入，人们逐渐发现，自然界中存在着大量无法用欧几里得几何来准确描述的复杂现象和结构，比如蜿蜒曲折的海岸线、形态各异的云朵、枝繁叶茂的树木以及复杂多变的金融市场波动等。这些现象的共同特点是具有高度的不规则性、自相似性以及尺度依赖性，欧几里得几何在面对它们时显得力不从心。

1975年，美籍法国数学家曼