第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日一、多项式函数与根1.多项式函数设数将的表示式里的用代替，得到P中的数称为当时的值，记作这样，对P中的每一个数，由多项式确定P中唯一的一个数与之对应，于是称为P上的一个多项式函数．第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日若多项式函数在处的值为0，即则称为的一个根或零点．2.多项式函数的根(或零点)易知，若则，第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日（余数定理）：用一次多项式去除多项式所得余式是一个常数，这个常数等于函数值二、多项式函数的有关性质1.定理7是的根推论:第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日例1求在处的函数值.法一：把代入求用去除所得余数就是法二：答案：第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日若是的重因式，则称为的重根.当时，称为的单根．当时，称为的重根．2.多项式函数的k重根定义第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日注：①是的重根是的重因式．②有重根必有重因式．反之不然，即有重因式未必有重根．例如，为的重因式，但在R上没有根．第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日3.定理8(根的个数定理)任一中的次多项式在中的根不可能多于个，重根按重数计算．4.定理9且若有使则第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日证：设若即时，由因式分解及唯一性定理，可分解成不可约多项式的乘积，由推论，的根的个数等于分解式中一次因式的个数，重根按重数计算，且此数此时对有即有0个根.定理8第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日证：令则有由定理８，若的话，则矛盾．所以，即有个根，即定理9第10页，共34页，星期日，2025年，2月5日解：例2求t值，使有重根．第11页，共34页，星期日，2025年，2月5日若即则此时，有重根，为的三重根．若即则此时，有重根，为的二重根．第12页，共34页，星期日，2025年，2月5日例3举例说明下面命题是不对的．解：令则但是的2重根，不是的根，从而不是的3重根．第13页，共34页，星期日，2025年，2月5日例4若求解：从而，1为的根．于是有，1为的重根，第14页，共34页，星期日，2025年，2月5日第15页，共34页，星期日，2025年，2月5日一、复系数多项式二、实系数多项式§1.8复系数与实系数多项式的因式分解第16页，共34页，星期日，2025年，2月5日1.代数基本定理一、复系数多项式若