计算，，和。解：第30页，共73页，星期日，2025年，2月5日因为所以。练习：设或第31页，共73页，星期日，2025年，2月5日分别计算这两个矩阵的，，和。例2：证明：对于任何矩阵都有第32页，共73页，星期日，2025年，2月5日如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？定理：设是矩阵范数，则存在向量范数使得证明：对于任意的非零向量，定义向量范数，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且第33页，共73页，星期日，2025年，2月5日例：已知矩阵范数求与之相容的一个向量范数。解：取。设第34页，共73页，星期日，2025年，2月5日那么矩阵的谱半径及其性质定义：设，的个特征值为，我们称为矩阵的谱半径。例1：设，那么第35页，共73页，星期日，2025年，2月5日这里是矩阵的任何一种范数。例2：设是一个正规矩阵，则证明：因为第36页，共73页，星期日，2025年，2月5日于是有例3：设是上的相容矩阵范数。证明：（1）（2）为可逆矩阵，为的特征值则有第37页，共73页，星期日，2025年，2月5日例5：如果，则均为可逆矩阵，且这里是矩阵的算子范数。矩阵序列与极限定义：设矩阵序列，其中第38页，共73页，星期日，2025年，2月5日，如果个数列都收敛，则称矩阵序列收敛。进一步，如果那么我们称矩阵为矩阵序列的极限。第39页，共73页，星期日，2025年，2月5日例：如果设，其中那么第40页，共73页，星期日，2025年，2月5日定理：矩阵序列收敛于的充分必要条件是其中为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数必要性：设第41页，共73页，星期日，2025年，2月5日那么由定义可知对每一对都有从而有上式记为第42页，共73页，星期日，2025年，2月5日充分性：设那么对每一对都有即第43页，共73页，星期日，2025年，2月5日故有现在已经证明了定理对于所设的范数成立，如果是另外一种范数，那么由范数的等价性可知第44页，共73页，星期日，2025年，2月5日这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。同数列的极限运算一样，关于矩阵序列的极限运算也有下面的性质。（1）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。（2）设第45页，共73页，星期日，2025年，2月5日则（3）设，其中，那么（4）设，其中