例10.判别下列级数的敛散性解(1)当时，则级数发散，所以级数发散.第29页，共53页，星期日，2025年，2月5日(2)时，对于级数由于则收敛，所以级数收敛.第30页，共53页，星期日，2025年，2月5日定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0l∞时,第31页，共53页，星期日，2025年，2月5日由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0l∞时,(2)当l=0时,由定理2知收敛,若第32页，共53页，星期日，2025年，2月5日特别取推论（极限判别法）设为正项级数，如果则级数收敛；如果则级数发散；第33页，共53页，星期日，2025年，2月5日例11判别下列级数的敛散性解(1)～根据比较审敛法的极限形式知(2)根据比较审敛法的极限形式知收敛第34页，共53页，星期日，2025年，2月5日(3)～根据比较审敛法的极限形式知(4)～根据比较审敛法的极限形式知第35页，共53页，星期日，2025年，2月5日例12判别级数的敛散性.解当时当时，当时发散，当时，收敛根据比较审敛法的极限形式知第36页，共53页，星期日，2025年，2月5日定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知第37页，共53页，星期日，2025年，2月5日因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而第38页，共53页，星期日，2025年，2月5日第一节常数项级数第十一章无穷级数第五章无穷级数第一节常数项级数*第1页，共53页，星期日，2025年，2月5日一常数项级数的概念及基本性质1常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正第2页，共53页，星期日，2025年，2月5日引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的总时间为设tk表示第k次小球落地的时间,第k次小球跳起的高度为米，因此第3页，共53页，星期日，2025年，2月5日定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作第4页，共53页，星期日，2025年，2月5日当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然第5页，共53页，星期日，2025年，2月5日例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为第6页，共53页，星期日，2025年，2月5日2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.此时第7页，共53页，星期日，2025年，2月5日如果级数是发散的。解例2.说明调和级数:是收敛的，则但所以，级数是发散的第8页，共53页，星期日，2025年，2月5日例3.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和第9页，共53页，星期日，2025年，2月5日(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和第10页，共53页，星期日，2025年，2月5日例4.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为第11页，共53页，星期日，2025年，2月5日2无穷级数的基本性质性质1若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收