晶体学中倒易点阵应用很广，是研究晶体衍射性质的重要概念和数学工具。衍射几何学、衍射公式推导、现代衍射仪器设计和应用、衍射数据处理、晶体结构测定的许多环节，都离不开倒易点阵。第29页，共55页，星期日，2025年，2月5日(一)倒易点阵和正点阵互为倒易由Bragg方程的倒数关系方程[1/dhkl=2sin?/?]及相关几何关系，可用数学引出倒易点阵，用来描述衍射空间，衍射点相当于倒易空间的点阵点。倒易空间可以理解为晶格的数学衍生空间，晶格点阵用向量a，b，c表示，晶胞体积用V表示，倒易点阵用向量a*，b*，c*表示，倒易晶胞体积用V*表示，两者间具有如下关系：第30页，共55页，星期日，2025年，2月5日a·a*=1，a·b*=0，a·c*=0b·a*=0，b·b*=1，b·c*=0c·a*=0，c·b*=0，c·c*=1式中，等于1的3式决定了倒易点阵3个基本矢量a*，b*，c*的长度，而另外6式决定了a*，b*，c*的方向。因此，a*=Ka[b×c]b*=Kb[c×a]c*=Kc[a×b]第31页，共55页，星期日，2025年，2月5日分别点乘a，b，c，如，a·a*=Ka[b×c]·a由于a·a*=1，[b×c]·a=V，则，Ka=1/V同理，Kb=1/V，Kc=1/Va*=(1/V)[b×c]b*=(1/V)[c×a]c*=(1/V)[a×b]倒易关系不仅存在于矢量之间，它们的晶胞体积也互为倒易：V=1/V*第32页，共55页，星期日，2025年，2月5日（二）倒易点阵参数和正点阵参数之间的关系1.从正点阵参数求a*,b*,c*|b×c|=bcsin?，b·c=bccos?因此，倒易点阵参数的单位是正点阵参数单位的-1次幂。第33页，共55页，星期日，2025年，2月5日2.从正点阵参数求?*，?*，?*第34页，共55页，星期日，2025年，2月5日由倒易点阵参数求正点阵参数的公式按倒易关系可得出相同的形式。第35页，共55页，星期日，2025年，2月5日3.倒易矢量G的方向与长度衍射点的位置可用倒易矢量G=ha*+kb*+lc*来表示，h,k,l为非质整数。则G垂直于(hkl)平面点阵族，当然也垂直于面间距为dhkl=d(hkl)/n的一族假想的衍射面，其长度为该族衍射面间距dhkl的倒数，Ghkl=1/dhkl=2sin?/?若以无量纲的?/dhkl为单位，则有Ghkl=2sin?晶胞越大，其衍射花样中的点越密。第36页，共55页，星期日，2025年，2月5日(三)正、倒点阵晶胞对称性的关系?*≠?*≠?*(见公式)a*≠b*≠c*(见公式)三斜?*=?*=90°?*=?-?a*=1/(asin?)b*=1/bc*=1/(csin?)单斜?*=?*=?*=90°a*=1/ab*=1/bc*=1/c正交?*=?*=?*=a*=b*=c*=三方?*=?*=?*=90°a*=b*=1/ac*=1/c四方?*=?*=90°?*=60°a*=b*=c*=1/c六方?*=?*=?*=90°a*=b*=c*=1/a立方?*?*?*a*b*c*晶系第37页，共55页，星期日，2025年，2月5日(四)复晶胞的倒易变换
带心单位的倒易单位仍为带心单位；体心单位的倒易单位为面心单位，而面心单位的倒易单位是体心单位。正点阵变换后的倒易点阵点阵型式单位边长倒易点阵型式倒易单位边长