四川大学数学学院徐小湛May2012计算旋转体体积的柱壳法第1页，共23页，星期日，2025年，2月5日柱壳法是计算xOy坐标面上的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微积分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫ShellMethod）。柱壳法的思路是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得到旋转体的体积。柱壳法的方便之处：虽然图形是绕y轴旋转，但是柱壳法却是沿x轴积分。这样做有时会给我们的计算带来极大的便利。第2页，共23页，星期日，2025年，2月5日设由曲线y=f(x),y=0,x=a,x=b所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周，得一旋转体。求旋转体的体积V。第3页，共23页，星期日，2025年，2月5日用以下方法求体积元素：体积元素是一层柱壳的体积的近似值第4页，共23页，星期日，2025年，2月5日柱壳柱壳半径柱壳的高度柱壳的厚度体积元素是一层柱壳的体积的近似值柱壳法第5页，共23页，星期日，2025年，2月5日第6页，共23页，星期日，2025年，2月5日柱壳法示意图第7页，共23页，星期日，2025年，2月5日柱壳法示意图动画第8页，共23页，星期日，2025年，2月5日第9页，共23页，星期日，2025年，2月5日解例求与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴所得的旋转体的体积。同济大学《高等数学》（第六版）286页20题。第10页，共23页，星期日，2025年，2月5日用“圆片法”求绕x轴的旋转体体积：第11页，共23页，星期日，2025年，2月5日第12页，共23页，星期日，2025年，2月5日用“柱壳法”求绕y轴的旋转体体积：第13页，共23页，星期日，2025年，2月5日第14页，共23页，星期日，2025年，2月5日例求摆线与x轴所围成的图形绕y轴所得的旋转体的体积。第15页，共23页，星期日，2025年，2月5日用“柱壳法”求图形绕y轴所得的旋转体的体积。2010.4.7第16页，共23页，星期日，2025年，2月5日附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介绍第17页，共23页，星期日，2025年，2月5日VolumesbyCylindricalShells美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍第18页，共23页，星期日，2025年，2月5日第19页，共23页，星期日，2025年，2月5日第20页，共23页，星期日，2025年，2月5日第21页，共23页，星期日，2025年，2月5日**四川大学数学学院徐小湛May2012