第1页，共17页，星期日，2025年，2月5日解法:类似定积分解决问题的思想:一.引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”机动目录上页下页返回结束第2页，共17页，星期日，2025年，2月5日1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束第3页，共17页，星期日，2025年，2月5日4)“取极限”令机动目录上页下页返回结束第4页，共17页，星期日，2025年，2月5日二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束第5页，共17页，星期日，2025年，2月5日引例中曲顶柱体体积:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束第6页，共17页，星期日，2025年，2月5日二重积分存在定理:若函数(证明略)定理在D上可积.在有界闭区域D上连续,则机动目录上页下页返回结束二重积分的几何意义:二重积分表示曲顶柱体的体积.二重积分表示曲顶柱体的体积的负值.二重积分等于柱体体积的代数和.第7页，共17页，星期日，2025年，2月5日三、二重积分的性质(k为常数)?为D的面积,则机动目录上页下页返回结束第8页，共17页，星期日，2025年，2月5日则5.若在D上6.设D的面积为?,则有机动目录上页下页返回结束第9页，共17页，星期日，2025年，2月5日7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上?为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束第10页，共17页，星期日，2025年，2月5日例比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束第11页，共17页，星期日，2025年，2月5日例估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96?I?2D机动目录上页下页返回结束第12页，共17页，星期日，2025年，2月5日