12.5.2截取效应上例i奇数时是正确的（是正常大小的两倍），而偶数时为0。这表明截取在奇数号点和偶数号点之间重新分配了能量。将G(i?s)即G(si)与一个窄的三角形局部平均滤波器[1/4,1/2,1/4]相卷积，可获得期望结果。*第29页，共42页，星期日，2025年，2月5日12.6数字处理以下考虑对连续信号（见下图）或图像进行截取、采样、内插等进行数字处理后的影响。*第30页，共42页，星期日，2025年，2月5日*数字图像处理DigitalImageProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院*采样数据的处理第1页，共42页，星期日，2025年，2月5日12.2.1Shah函数（无限冲激序列）12.2采样和插值定义III(x)：为沿x轴相隔单位间距出现的单位冲激序列。x?0III(x/?)s1/?0?III(?s)III(x)的傅立叶变换为其自身：*第2页，共42页，星期日，2025年，2月5日12.2.1.1相似性根据相似定理：且时（空）域乘对应频域除因此III(x)的频谱为沿s轴间隔为1/?的冲激序列。s1/?0?III(?s)令a=1/?：*第3页，共42页，星期日，2025年，2月5日设f(x)带宽为s0（当频率s超过s0时，f(x)便为0），即F(s)=0，当|s|?s0时。12.2.2使用Shah函数采样以等间隔?对f(x)采样，则仅在x=n?处取得f(x)的样本值，在其他地方，f(x)被破坏了，这个过程相当于用III(x/?)乘以f(x)，得到g(x)。xf(x)s0sF(s)-s0x1/?s0s-s0-1/?*第4页，共42页，星期日，2025年，2月5日12.2.3采样及其频谱时域相乘对应频域卷积，即III(x/?)乘f(x)对应F(s)卷?III(?s)。由于与冲激函数的卷积产生了函数本身的复制品。因此，频域卷积在s轴上每隔1/?复制了一个F(s)，也就是说，G(s)是一个以F(s)重复的周期函数。*第5页，共42页，星期日，2025年，2月5日12.2.4采样定理由上可见，只要从G(s)中得到F(s)，即可从g(x)中获得f(x)。方法：保留中心处于原点的F(s)，消除其复制品，即用矩形?(s/2s1)去乘G(s)。其中可见，用采样后的函数与一个形式为的内插函数做卷积，即可从g(x)重构f(x)。*第6页，共42页，星期日，2025年，2月5日上述推导的两个限制：1)f(x)的谱＜s0。2)奈奎斯特采样定理：*第7页，共42页，星期日，2025年，2月5日12.2.5内插g(x)与内插函数卷积，等于在每个采样点上复制一个窄的sinc(x)函数，而互相重叠的sinc(x)函数的总和可准确地恢复出原函数。*第8页，共42页，星期日，2025年，2月5日12.2.6欠采样与混叠（Aliasing）当采样间隔不够密，即时，F(s)的复制品就会部分地重叠，此时就不能准确地恢复出原函数了。因为此时sG(s)01/2?1/?频率s1以上的能量被折叠返回到s1以下，并被加到频谱上，称为混叠。f(x)和内插所得的函数的差别称为混叠误差。当f(x)是偶函数时，F(s)也是偶函数，混叠的效果是提高了频谱中的能量；奇函数与之相反；非奇非偶函数及谱则因此比实际更趋向于偶函数。*第9页，共42页，星期日，2025年，2月5日12.2.7采样举例函数：频谱：以等间隔?t对f(t)采样。f(t)的周期是1/f0。过采样：临界采样：欠采样：严重欠采样：对正弦信号的临界采样：见后面图示*第10页，共42页，星期日，2025年，2月5日1、过采样：*第11页，共42页，星期日，2025年，2月5日2、临界采样：*第12页，共42页，星期日，2025年，2月5日3、欠采样：变成低频了*第13页，共42页，星期日，2025年，2月5日4、严重欠采样：变成直流了零频！*第14页，共42页，星期日，2025年，2月5日5、另一种情况：相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在s=fN处重叠并抵消。结果内插后的函数为0。它其实相当于在正弦函数的过零点进行了采样，每次采到的都是0。*第15页，共42页，星期日，2025年，2月5日12.2.7.1图像数字化中的混叠聚焦可有效保留信号的高频成分，而散焦则相当于信号的高频成分减少，带宽变窄，因