解例1第30页，共78页，星期日，2025年，2月5日例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程第31页，共78页，星期日，2025年，2月5日所求曲线为第32页，共78页，星期日，2025年，2月5日解方程改写为不是一阶线性方程把看作的函数，于是变为第33页，共78页，星期日，2025年，2月5日第34页，共78页，星期日，2025年，2月5日第35页，共78页，星期日，2025年，2月5日第36页，共78页，星期日，2025年，2月5日第37页，共78页，星期日，2025年，2月5日第38页，共78页，星期日，2025年，2月5日第39页，共78页，星期日，2025年，2月5日§9.3高阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程第40页，共78页，星期日，2025年，2月5日第41页，共78页，星期日，2025年，2月5日第42页，共78页，星期日，2025年，2月5日二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根第43页，共78页，星期日，2025年，2月5日有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为第44页，共78页，星期日，2025年，2月5日有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为第45页，共78页，星期日，2025年，2月5日有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为第46页，共78页，星期日，2025年，2月5日第47页，共78页，星期日，2025年，2月5日解特征方程为解得故所求通解为例1第48页，共78页，星期日，2025年，2月5日解特征方程为解得故所求通解为例2第49页，共78页，星期日，2025年，2月5日第50页，共78页，星期日，2025年，2月5日二、二阶常系数非齐次线性微分方程第51页，共78页，星期日，2025年，2月5日设对x求导为非齐次方程第52页，共78页，星期日，2025年，2月5日令则有二阶导数第53页，共78页，星期日，2025年，2月5日第54页，共78页，星期日，2025年，2月5日第55页，共78页，星期日，2025年，2月5日calculus微积分第1页，共78页，星期日，2025年，2月5日§9.1微分方程的基本概念一、微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程定义1第2页，共78页，星期日，2025年，2月5日二、微分方程的阶微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶三、微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微分方程的特解定义2定义3第3页，共78页，星期日，2025年，2月5日§9.2一阶微分方程一、可分离变量的微分方程第4页，共78页，星期日，2025年，2月5日第5页，共78页，星期日，2025年，2月5日第6页，共78页，星期日，2025年，2月5日第7页，共78页，星期日，2025年，2月5日第8页，共78页，星期日，2025年，2月5日第9页，共78页，星期日，2025年，2月5日第10页，共78页，星期日，2025年，2月5日第11页，共78页，星期日，2025年，2月5日第12页，共78页，星期日，2025年，2月5日二、齐次微分方程齐次微分方程不是可分离变量的微分方程，但通过变量代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：第13页，共78页，星期日，2025年，2月5日第14页，共78页，星期日，2025年，2月5日第15页，共78页，星期日，2025年，2月5日第16页，共78页，星期日，2025年，2月5日第17页，共78页，星期日，2025年，2月5日第18页，共78页，星期日，2025年，2月5日第19页，共78页，星期日，2025年，2月5日第20页，共78页，星期日，2025年，2月5日第21页，共78页，星期日，2025年，2月5日第22页，共78页，星期日，2025年，2月5日第