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2025年初中升高中奥赛选拔数学试题及答案

1.已知正整数n满足：对任意正整数k，若k2≤n(k+1)2，则n?k2与(k+1)2?n中恰有一个为完全平方数。求所有满足条件的n。

【解答】

设n夹在k2与(k+1)2之间，记d?=n?k2，d?=(k+1)2?n，则d?+d?=2k+1。

题设要求d?、d?中恰有一个为完全平方数。

若d?=m2，则d?=2k+1?m2，需2k+1?m2不是平方数；

若d?=m2，则d?=2k+1?m2，需2k+1?m2不是平方数。

先考虑d?=m2的情形：

n=k2+m2，且2k+1?m2不是平方数。

由于m22k+1，得m≤√(