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2025年初三数学竞赛选拔试题(含答案)

1.已知实数x、y满足x2+xy+y2=3，且x3+y3=9，求x?+y?的值。

【答案】

由x2+xy+y2=3得(x+y)2?xy=3，记s=x+y，p=xy，则s2?p=3。

又x3+y3=(x+y)(x2?xy+y2)=s(3?2p)=9，联立得s(3?2p)=9与s2?p=3。

消p得s(3?2(s2?3))=9?s(9?2s2)=9?2s3?9s+9=0。

试根得s=3/2，代入得p=?3/4。

x?+y?=(x2+y2)2?2x2y2=(s2?2p)2?2p2=(9/4+3/2)2?2·9/16=225/