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2025年量化基金笔试试题及答案

一、数学与统计学基础

1.（15分）设股票价格S(t)满足几何布朗运动dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)，其中W(t)为标准维纳过程。令X(t)=ln(S(t)/S(0))，求X(t)的期望E[X(t)]和方差Var[X(t)]，并推导dX(t)的随机微分方程。

答案：

由伊藤引理，对f(S)=ln(S)，计算一阶导数f’(S)=1/S，二阶导数f(S)=-1/S2。代入伊藤公式：

dX(t)=d(lnS(t))=f’(S)dS(t)+?f(S)(dS(t))2

=(1/S)(μSdt+σSdW(t))+?(-1/S2