第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分第十章第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.引例:曲线形构件的质量采用第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日设?是空间中一条有限长的光滑曲线,义在?上的一个有界函数,都存在,?上对弧长的曲线积分,记作若通过对?的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，?称为积分弧段.曲线形构件的质量和对第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日如果L是xoy面上的曲线弧,如果L是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds?0,但定积分中dx可能为负.第5页，共25页，星期日，2025年，2月5日3.性质（k为常数)(?由组成)(l为曲线弧?的长度)第6页，共25页，星期日，2025年，2月5日二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义第7页，共25页，星期日，2025年，2月5日点设各分点对应参数为对应参数为则第8页，共25页，星期日，2025年，2月5日说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此第9页，共25页，星期日，2025年，2月5日如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则第10页，共25页，星期日，2025年，2月5日例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)第11页，共25页，星期日，2025年，2月5日例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度?=1).解:建立坐标系如图,则第12页，共25页，星期日，2025年，2月5日例3.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得第13页，共25页，星期日，2025年，2月5日例4.计算曲线积分其中?为螺旋的一段弧.解:线第14页，共25页，星期日，2025年，2月5日例5.计算其中?为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知第15页，共25页，星期日，2025年，2月5日思考:例5中?改为计算解:令,则圆?的形心在原点,故,如何第16页，共25页，星期日，2025年，2月5日例6.计算其中?为球面解:化为参数方程则第17页，共25页，星期日，2025年，2月5日例7.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.第18页，共25页，星期日，2025年，2月5日(L.P362例8)