实例分析例题10求解方程组矩阵形式：第125页，共180页，星期日，2025年，2月5日首先将Ax=b转化为等价方程组解：有精确解第126页，共180页，星期日，2025年，2月5日于是，（6.6.2）第93页，共180页，星期日，2025年，2月5日第94页，共180页，星期日，2025年，2月5日由矩阵三角分解的惟一性，则从而对称正定矩阵A有惟一分解式（6.6.3）由式(6.6.2)可知第95页，共180页，星期日，2025年，2月5日于是，对角阵D还可以分解为代入式(6.6.3)，则有第96页，共180页，星期日，2025年，2月5日定理6(对称正定阵的三角分解)设A为n阶对称正定矩阵，则有三角分解：①A=LDLT，其中L为单位下三角阵，D为对角阵，或②A=LLT，其中，L为下三角阵且当限定L的对角元素为正时，这种分解是惟一的，这种矩阵分解称为(Cholesky)分解。第97页，共180页，星期日，2025年，2月5日下面推导实现分解计算A=LLT的递推公式及求解公式。设有Ax=b，其中A∈Rn×n为对称正定矩阵，于是有三角分解四.计算A=LLT的递推公式，及求解公式。其中，lii0(i=1,2,…,n)。第98页，共180页，星期日，2025年，2月5日由矩阵乘法，则有L的第1列元素同理，可确定L的第j列元素lij(i=j,…,n)。(当j＜k时，则ljk=0)第99页，共180页，星期日，2025年，2月5日第100页，共180页，星期日，2025年，2月5日第101页，共180页，星期日，2025年，2月5日Cholesky分解法缺点及优点优点：可以减少存储单元。缺点：存在开方运算，可能会出现根号下负数。第102页，共180页，星期日，2025年，2月5日由分解公式有所以说明ljk是有界的,数量级不会增长,因此平方根法计算是数值稳定的第103页，共180页，星期日，2025年，2月5日例7:用平方根法求以下方程组的解.求得x=(1.0,-1.0,2.0)第104页，共180页，星期日，2025年，2月5日Cholesky分解法要用到开方运算，为避免开方运算，可将A分解为A=LDLT(其中L为单位下三角矩阵)，再分别解方程组LY=b及DLTX=Y或，这种方法称为改进平方根法.第105页，共180页，星期日，2025年，2月5日§7.向量和矩阵的范数第106页，共180页，星期日，2025年，2月5日为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范数。第107页，共180页，星期日，2025年，2月5日定义7.1(向量范数)如果向量x∈Rn的某个实值函数N(x)≡‖x‖满足条件①正定条件：‖x‖≥0且‖x‖=0x=0向量;②齐次性：‖αx‖=｜α｜‖x‖，α为实数或复数;③三角不等式：‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，对任意向量x,y∈Rn。称N(x)≡‖x‖是Rn上的一个向量范数(或向量的模)。一:向量范数1.向量范数定义第108页，共180页，星期日，2025年，2月5日④利用三角不等式可推得(见图6.2)|‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖第109页，共180页，星期日，2025年，2月5日定义7.2设x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，定义Rn上3种常用的向量范数2:几种常用的向量范数③向量的“2”范数②向量的“∞”范数①向量的“1”范数第110页，共180页，星期日，2025年，2月5日第111页，共180页，星期日，2025年，2月5日第112页，共180页，星期日，2025年，2月5日定义3(向量序列的极限)设{x(k)}为向量序列，记x(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T∈Rn及x*=(x1*,…,xn*)T∈Rn。如果n个数列极限存在且则称{x(k)}收敛于x*，记为3:向量序列的极限第113页，共180页，星期日，2025年，2月5日定理7设{x(k)}是Rn中一向量序列，且x*∈Rn，则证只就υ=∞证明。显然有第114页，共180页，星期日，2025年，2月5日1.定义7.4(矩阵的范数) 如果矩阵A∈Rn×n的某个非负实值函数N(A)=‖A‖满足下述条件①正定性：‖A‖≥0，且‖A‖=0A=0矩阵；②齐次性：‖αA‖=α‖A‖，α为实数或复数；③三角不等式：‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖