第十二章分离变量法;第十二章分离变量法;前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制．本章介绍的分离变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法．;第十二章分离变量法;;12.1分离变量理论;通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：;假设（12.1.2）的解有下列分离的形式;1.常系数偏微分方程;要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为，从而得到两个常微分方程;2.变系数偏微分方程;上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为;由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离;第一类边界条件;假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界
条件为齐次的：;;12.2直角坐标系中的分离变量法;;定解问题的泛定方程变为;偏微分方程分离成两个常微分方程:;(12.2.6);;本征值
不能任意取，只能根据边界条件（12.2.7）取某些特定值。
本征函数
不同（12.2.5）所对应的解
本征值问题
求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题
;二阶常系数微分方程：;（12.2.5）的解为;由此解出;解出;;只剩下一种可能性：;;第三步：先求特解，再叠加求出通解;;这就是满足(12.2.1)和条件（12.2.2）的通解;;至此，定解问题（12.2.1）-(12.2.3)的解已经求出;(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解，
不一定是分离变量的乘积形式;12.2.2.解的物理意义;;点数为2，3，4的驻波形状;（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的．;中最小的一个;具体以直角坐标系中的三维齐次热传导方程为例来说明三维形;从前面讨论的例子容易看出，分离变量的本征值通常是正数，;上式即为亥姆霍兹方程．;分离常数时，上述等式才成立，于是，得到;方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合．若是有限区域的情形，这些分离方程还应配有相应的齐次边界条件，即构成本征值问题．在这种情况下，这些分离的常数;12.2.3直角坐标系分离变量例题分析;【解】用分离变量法求解.令;代入（12.2.17），(12.2.18)，得本征值问题;待定常数和由边界条件（12.2.23）确定，即有;(2)若
;注意到
;系数B可以在求通解时考虑进去，故此将系数认为是
归一化的.;系数由定解条件确定;例12.2.3解下列两端自由棒的自由纵振动定解问题：;【解】按照分离变量法的步骤，先以变量分离形式的试探解;求解（12.2.34）～（12.2.35）本征值问题，对;代入（7）得到;由于;于是;从上面的讨论我们可以将本征值;其对应的解为;注意到上式正是傅里叶余弦级数的基本函数族．;把右边的函数;例12.2．4求边长分别为的长方体中的温度分布，;(1)时空变量的分离：;同时，;和;把（12.2.43）、（12.2.44）、（12.2.45）式的本征值相加，;(4)求解关于;14．3二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量;带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度;解题分析：首先需要把这个物理问题表示
为定解问题．取圆柱的轴为Z轴．如果圆
柱“无限长”，那么，这个静电场的电场强
度、电势显然与Z坐标无关，我们只需在
XY平面上加以研究就行了．图12.2画出了
XY平面上的静电场分布，圆柱面在XY平
面的剖口是圆;柱外的空间中没有电荷，所以电势;在“无限远”处的静电场仍然保持为匀强的;【解】以变量分离形式的试探解;这就分解为两个常微分方程;所以;谢谢大家！