模块01集合与常用逻辑用语与、等式（测试卷）
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．已知全集，集合，，则（???）
A．或 B．或
C． D．
2．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（???）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（????）
A． B．
C． D．
5．（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（????）
A． B． C． D．R
6．（2025·陕西西安·模拟预测）若，则（????）
A．是真命题，且
B．是真命题，且
C．是假命题，且
D．是假命题，且
7．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（????）
A．2 B．1 C． D．
8．（2025·浙江宁波·模拟预测）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（?????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（????）
A． B．
C． D．
10．（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（????）
A．若，则的最大值为
B．若，则
C．若，，则的最小值为
D．若，则
11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义集合且，集合中元素的个数为.下列说法正确的是（????）
A．
B．
C．存在，使得成立
D．记表示不超过的最大整数，且，则.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是．
13．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是.
14．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为．
四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
16．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求C；
(2)若边上的高为，求的最小值．
17．（2025·湖北·三模）已知.
(1)解关于的不等式
(2)若不等式的解集为，求实数的值.
18．（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．
(1)若，求；
(2)给定集合的子集，求集合的元素个数；
(3)设为有限集合，证明：．
19．（2025·四川·一模）已知定义在上的函数满足，且，有．若存在，使得函数是常函数，则称是“阶梯函数”．
(1)若是“阶梯函数”，且当时，，写出的取值范围；
(2)已知满足：①；②，有．
（i）证明：是“阶梯函数”的必要条件是“”；
（ii）若所有满足条件①②的函数均为“阶梯函数”，猜想的取值范围并证明．