模块02函数与导数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的定义域是（????）
A．或 B．
C． D．
2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数满足且，，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数，则曲线在处的切线方程为（????）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·山东烟台·期末）函数的图象大致为（????）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·河北保定·期末）已知，，，则、、的大小关系为（????）
A． B．
C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）为加强环境保护，治理空气污染，某生态环境部门对某工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间满足（为初始污染物含量，为参数）．若污染物含量达到初始含量的12.5%就达到排放标准，且在过滤的前15个小时消除了50%的污染物，则达到排放标准至少需要（???）
A．44小时 B．45小时 C．46小时 D．47小时
7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（????）
A．或 B．或 C． D．
8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（???）
A．651 B．676 C．1226 D．1275
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（???）
A．在区间上单调递增 B．的最小值为
C．方程的解有个 D．导函数的极值点为
10．（2025高三·全国·专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑，二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则（???）（参考数据：，，）
A．
B．
C．3周后室内甲醛浓度为
D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周
11．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知定义域为的偶函数，满足，当时，．则（???）
A．的一个周期为2
B．
C．的解集为（）
D．（）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·全国·专题练习）函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是．
13．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是.
14．（24-25高三上·江西·期中）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高三·北京·专题练习）已知函数.
(1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为-2，求a的取值范围；
16．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
17．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数，且不等式的解集为．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)若方程有6个不相等的实数根，求实数的取值范围．
18．（2024·云南·二模）已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.
19．（24-25高三上·河北张家口·期末）若定义在上的函数满足:对任意，存在常数，都有成立，则称为函数的上界，最小的称为函数的上确界，记作.与之对应，若定义在上的函数满足:对任意，存在常数，都有成立，则称为函数的下界，最大的称为函数的下确界，记作.
(1)若有下确界，则一定是的最小值吗?请举例说明.
(2)已知函数，其中.
(i)若，证明:有下确界，没有上确界.
(ii)若函数有下确界，求实数的取值范围，并证明.