模块01集合、常用逻辑用语、不等式
题型梳理
题型梳理
题型一Venn图法解决集合运算问题
题型二分类讨论法解决元素与集合关系问题
题型三根据集合包含关系求参数值或范围
题型四一元二次型不等式恒成立问题
题型五一元二次不等式能成立问题
题型六基本不等式中“1”的妙用
题型七利用基本不等式求参数范围
题型八作差法比较大小
知识回顾
知识回顾
知识点01．集合
(1)集合间的关系与运算
A∪B＝A?B?A；A∩B＝B?B?A.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
知识点02．全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
(3)命题与其否定真假相反．
知点识03．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A?B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
知识点04．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数，它决定二次函数的开口方向；(2)判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ0，Δ＝0，Δ0三种情况；(3)在有根的条件下，要比较两根的大小．
知识点05．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0)).
(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0)).
知识点06．分式不等式
eq\f(f?x?,g?x?)0(0)?f(x)g(x)0(0)；
eq\f(f?x?,g?x?)≥0(≤0)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?g?x?≥0?≤0?，,g?x?≠0)).
知识点07．基本不等式
(1)基本不等式：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a0，b0)，当且仅当a＝b时，等号成立．
基本不等式的变形：
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立；
②≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
易错提醒
易错提醒
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集．
2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏?的情况．
4．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
5．解形如ax2＋bx＋c0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a0，a0进行讨论．
6．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
7．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋eq\f(3,x)(x0)的最值时应先转化为正数再求解．
题型方法
题型方法
【题型一】Venn图法解决集合运算问题
【例1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（???）
A． B． C． D．
【举一反三】
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已