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第二章课后习题

习题2-1

解：考虑一个点的应力状态，在该点存在一个应力张量

σ

通过应力变换公式，可计算得到在任意取向的面上的正应力和剪应力。首先，考虑二维应力状态。对于一个二维平面应力状态，正应力和剪应力的变换公式为：

σ

τ

式中：σn是在角度θ方向上的正应力，τn是在角度

在主应力方向上，剪应力为零，且正应力取最大值或最小值。主应力方向对应的角度θp满足以下条件

τ

解上述方程，可得到使主应力方向上σn达到极值的θp，将θ

σ

式中：σ1和σ

可看出σ1,2是所有可能的σn中的最大值和最小值。因此，通过同一点的所有微分面上的正应力中，最大和最小的正应力值就是主应力σ1

然后，扩展到三维