6.利用三角函数测高北师版·九年级数学·下册
1.了解仰角、俯角的概念,并弄清它们的意义.2.能将实际问题转化成数学问题,并会利用解直角三角形的知识来解决测量物体的高度等问题.重点：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度.难点：实际情景和平面图形之间的转化.
阅读课本内容，了解本节主要内容.仰角俯角
(1)如图①,身高1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度,当他站在旗杆影子的顶端B′处时,测得BC=2米,B′C′=8米,则旗杆的高度是6.4米.(2)如图②,为了测量旗杆的高度,小丽在距离旗杆20m的D处立了一根高3m的标杆CD,然后后奶5m到B处,发现标杆刚好完全遮住了旗杆.若小丽的眼睛离地面高1.5m,则旗杆的高度是9m.(3)如图③是身高1.4米的小贝设计用手电来测量旗杆高度的示意图.在点E处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜发射后,刚好射到旗杆CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得BE=2.1米,ED=12米.那么该旗杆CD的高度是8米.①ABCDGHEF②ABECD③
在测量物体(旗杆)的高度时,除了上述的几种方法处,你还知道有其他的方法吗?能否利用锐角三角函数的知识测量呢?
例如,如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明1m)你能完成这个任务吗?解：如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m.求CD的长.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,∴AC=xtan60°,BC=xtan30°,∴xtan60°－xtan30°=50.∴43＋1=44(m)
例如,如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明1m)你能完成这个任务吗?提示：解决这个问题的方法,我们称为实际问题数学化,这是解决实际问题常用的方法.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?在进行高度测量时,视线与水平线所成角中,当视线在水平线上方时叫做仰角,当视线在水平线下方时叫做俯角.
A
3.57tanα
18.5
例1：如下图,已知A、B两点间的距离是160米,从A点看B点的仰角是11°,AC长为1.5米,求BD的高及水平距离CD.解析：由A作一条平行于CD的直线交BD于E,构造出Rt△ABE,然后进一步求出AE、BE,进而求出BD与CD.设置此题,既使成绩较好的学生有足够的训练,同时对较差学生又是巩固,达到分层次教学的目的.过A作AE∥CD,于是有AC=ED,AE=CD.∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53(米).∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1(米).解：∴BD=BE＋ED=BE＋AC=30.53＋1.5=32.03(米).CD=AE=157.1(米).答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米,157.1米.
例2：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.1m).这个问题我们也应该数学化,根据题意可以画图.解：如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.(1)AB－BD的长；(2)AD的长.∴BC=BDsin40°.∴AB－BD≈4.48－4=0.48(m).答：调整后的楼梯会加长约0.48m.
例2：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.1m).这个问题我们也应该数学化,根据题意可以画图.解：如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.(1)AB－BD的长；(2)AD的长.答：楼梯多占约0.61米长的一段地面.
由题意可知：BE＝CD＝1.5m,CE＝BD＝17m,∴AB＝AE＋BE＝29.4＋1.5≈31（m）.答：茶树王AB的高度约为31m.解：
根据题意中条件知,∠BDC＝45°,故设BC＝x米,则CD＝x米,解：在Rt△ACD中,∠ADC＝60°,所以
利用三角函数解应用题时,首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角,然后再运用三角函数知识解题.