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基于梯度的优化方法基础

1.梯度的基本概念

梯度是一个向量，表示函数在某一点处变化最快的方向。在多维空间中，梯度向量的分量是函数在各个维度上的偏导数。数学上，对于一个标量函数fx1,x

?

梯度向量的方向是函数值增加最快的方向，其模长表示函数在该方向上的变化率。在优化问题中，梯度是寻找函数极值的重要工具。

1.1梯度的计算

计算梯度是基于梯度优化方法的基础。对于一个给定的函数，可以通过解析方法或数值方法计算其梯度。

1.1.1解析方法

解析方法是通过求导数来直接计算梯度。例如，对于函数fx

?

1.1.2数值方法

数值方法通过有限差分来近似计