一、求极限问题;1、函数极限;;洛必达法则是求不定型的一种有效方法,但要注意：;●;●;◆等价无穷小替换及Taylor公式;常见的等价无穷小替换;;;●;原式;原式;●;◆两个重要极限;;◆其它：利用导数的定义、微分中值定理等;●;;●;2、数列极限;;;讨论数列;分析:(1);由数学归纳法知;由此可见和都存在，;根据单调有界原理知数列有极限，不妨设;●;◆利用定积分的概念;●;由夹逼定理得;●;◆利用收敛级数的性质;首届全国大学生数学竞赛决赛试题;二、（10分）求下列极限;法一：;;●;二、(偏)导数、高阶(偏)导数的计算;1、分段点或特殊点处求导：直接利用定义;;●;;2、复合函数的链式求导法则;因此:;;;求;●;偏导数对复合结构具有”遗传性”.;●;3、隐函数的求导法则对数求导法;解法2、两边求导法;解法3：利用全微分形式的不变性;注、公式法：;●;证明：;●;●;5、高阶导数的计算(一元函数);●;常用高阶导数公式;●;◆利用Taylor级数;6、变限积分函数的求导;●;三、(偏)导数的应用;◆函数单调性的判别法;，则;◆函数的极值与最值;再根据极值的第二充分条件;极大值;现要设计一个容积为的一个圆柱体的容器。已知上下
两底的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位
面积元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的
直径之比为何值时所需费用最少。;◆不等式的证明;即（*）式成立。;证明不等式;◆确定方程实根的个数;由连续函数的零点存在定理知：;●;矛盾,;Rolle定理也可以指明方程实根的个数(反证法);提示:显然;2、多元函数偏导数的应用;设空间曲线的方程;空间曲线方程为;●求曲线;法平面方程;切线方程;;切平面方程为;无条件极值;●求中心在原点的椭圆的长半轴长度;(舍去带减号的根);●求函数;所以在球内部没有函数的驻点。;解得;四、微分中值定理;●;2题结论等价于;●;该构造辅助函数的方法称为指数因子法;●;◆Lagrange中值定理;解：;●;由介值定理,;◆Cauchy中值定理;◆Taylor公式:Peano型、Lagrange型;合并同类项后得到;●;●;解：;注意：带Lagrange型余项的Taylor公式常用于证明与
中间值相联的不等式，其关键是注意Taylor公式中
展开点的选择。通常选择已知区间的端点、中间点
或函数的极值点和导数等于零的点。这类题的特点
是已知函数可导的阶数较高(二阶或二阶以上)，同时
还有若干个已知的函数值或导数值;●;●;●;?–?,;更一般的，;●;●;另一方面直接使用Taylor公式;●;自测题;●;两式相加;构造辅助函数;谢谢大家！