第一节微分方程的基本概念一、问题的提出二、微分方程的定义三、主要问题-----求方程的解四、小结第十章微分方程
解一、问题的提出
解
代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需
微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义
微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:
分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.
微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.
过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.
解
所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)
微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;四、小结
第二、三节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题三、齐次方程四、可化为齐次的方程五、小结
一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法
例1求解微分方程解分离变量两端积分二、典型例题
通解为解
解由题设条件衰变规律
例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度
设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:
即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为
解例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量
的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到
三、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义
例6求解微分方程微分方程的解为解
例7求解微分方程解
微分方程的解为
例8抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图
得微分方程由夹角正切公式得
分离变量积分得
平方化简得抛物线
四、可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义
有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.
可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.
解代入原方程得
分离变量法得得原方程的通解方程变为
利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为
分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.五、小结
齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程