人教版八年级下册数学（新教材）第二十章勾股定理20.2勾股定理的逆定理及其应用新课导入1．回顾勾股定理和命题的概念．ABCabc勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c22．如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求CE的长．3．以3，4，5为三边的三角形的形状是怎样的？探究新知如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，题设结论题设和结论交换，还成立吗？题设结论那么a2+b2=c2.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.那么这么三角形是直角三角形.图中给出了确定直角的一种方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角，345三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形．探究提出问题：(1)如果一个三角形的三条边长分别是3cm，4cm，5cm，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？(2)类似地，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系：2.52＋62＝6.52，这个三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试．由此你能得出什么结论？(3)什么叫作勾股数？一组勾股数同时放大相同的倍数后还是勾股数吗？观察画一画，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.2.566.547.58.542+7.52=8.52如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.猜想已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．证一证证明：作一个Rt△ABC，使BC=a，A′C′=b，∠C=90°．根据勾股定理，AB2=BC2+AC2=a2+b2.因为a2+b2=c2，所以AB=c.所以△ABC≌△ABC（SSS）.因此∠C=∠C=90°，即△ABC是直角三角形.在△ABC和△ABC中，BC=a=BC，AC=b=AC，AB=c=AB，ACBbacA′C′B′ba知识归纳如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理:满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．ACBabc例题与练习例1满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是()A．b2－c2＝a2B．a∶b∶c＝3∶4∶5C．∠C＝∠A－∠BD．∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15D例2判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=14，b=13，c=15.解:（1）因为82+152=64+225=289，172=289，所以82+152=172.根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形.像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.（2）因为142+132=196+169=365，152=225，所以142+132≠152.根据勾股定理，由线段ɑ，b，c组成的三角形不是直角三角形.例3如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16nmile,“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5h后分别位于点Q,R处，且相距30nmile.如果“远航”号沿东北方向航行,那么“海天”号沿什么方向航行？分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“航天”号的航向了。远航号海天号16×1.512×1.530