人教版八年级下册数学（新教材）21.3特殊的平行四边形21.3.1矩形第1课时矩形的性质第二十一章四边形旧知回顾1．回顾平行四边形的概念和性质．2．观察思考，如图①，将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即?ABCD，转动这个四边形使A′B′⊥B′C′，就得到一个特殊的平行四边形，如图②，你能说出平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？新课导入观察下面图形,长方形在生活中无处不在.长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？探究新知一个角是直角平行四边形矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（长方形）.矩形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是矩形.矩形是常见的图形，门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形的形象。(1)拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是平行四边形吗？提出问题：(2)拉动到有一个角是直角，然后观察这个教具，你有什么发现？(3)由此你能得出矩形的概念吗？你能举出一些关于矩形的例子吗？因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些性质呢？思考ABCDO可以从边、角、对角线等方面来考虑。猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．ABCDO命题1：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.ABCD证明：∵四边形ABCD是矩形，又矩形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.即矩形的四个角都是直角.已知：如图，四边形ABCD是矩形，ABCD证明：在矩形ABCD中∵∠ABC=∠DCB=90°又∵AB=DC，BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=BD，即矩形的对角线相等.命题2:矩形的对角线相等求证：AC=BD.思考：(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.由于矩形是特殊的平行四边形，请说出其具有哪些性质？(2)如图，在矩形ABCD中，AC，BD是其对角线．试证明：①AC＝BD；②∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°；(3)由此你还能列举出矩形具有而平行四边形不具有的性质吗？ABCOD证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD.∵OA=OC，OD=OB，性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.∴四边形ABCD为平行四边形.又∵∠ABC=90°，所以平行四边形ABCD是矩形.∴AC=BD，知识归纳1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也就是长方形.2．矩形的性质：矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．例题与练习例1如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求矩形对角线的长．ABCDO∴AC与BD相等且互相平分，∴OA=OB=OC=OD，∵∠AOB=60°，解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OA=AB=4cm∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=8.矩形的对角线相等且互相平分例2如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心，边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，CE，过点C作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°.由作图可知BC＝EB.在△BFC和△EAB中，∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE.∠CFB＝∠A,∠FBC＝∠AEB,BC＝EB,例3如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；解：∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，∴四边形AEDF的周长为AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；解：∵DE＝AE，DF＝AF，(2)求证：EF垂直平分AD.当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．∴E，F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD.归纳